Question

Encontre as equações das retas que tangenciam a circunferência x²+y²-4x-12=0 e formam ângulo de 60° com o eixo das abcissas, no seu sentido positivo.

Answer 1

Pelo enunciado temos:

Circunferência: x² + y² - 4x - 12 = 0
Coeficiente angular das retas: m(r) = tg 60º = $\sqrt{3}$.

Primeiro devemos encontrar o centro C e o raio r da circunferência, o que se faz a partir da equação da circunferência.

x² + y² - 4x -12 = 0 ⇒ x² - 4x - 12 + y² = 0 ⇒ x² - 4x + 4 - 4 - 12 + y² = 0 ⇒
⇒ (x -2)² - 16 + y² = 0 ⇒ (x -2)² + y² =16 

Logo, o centro é C(2,0) e o raio é r = $\sqrt{16}$ = 4.

Agora, para encontrar os ponto em que as retas interceptam a circunferência, devemos encontrar a equação da reta perpendicular à essas retas e que passa pelo centro C da circunferência. Assim, primeiro encontramos o coeficiente angular dessa reta e depois a sua equação da seguinte forma:

m(p) = $\frac{-1}{m(r)}$ = $\frac{-1}{ \sqrt{3}}$ = $\frac{- \sqrt{3}}{3}$

e a equação passando pelo centro C:

y = mx + n ⇒ 0 = $\frac{-\sqrt{3}}{3}x$ + n ⇒ 0 = $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$ + n ⇒ n = $\frac{ 2\sqrt{3} }{3}$ ⇒

⇒ $y = \frac{- \sqrt{3}}{3}x + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ (equação da reta perpendicular às retas tangentes e que passa pelo centro da circunferência)

Agora, com a equação da reta perpendicular, podemos encontrar os pontos em que as retas tangentes interceptam a circunferência. Isso se faz trocando a equação da reta perpendicular no "y" da circunferência. Da seguinte forma:

$x^{2} + y^2 -4x - 12 = 0$ ⇒ $x^{2} + ( \frac{ \sqrt{3}}{3}x + \frac{2 \sqrt{3}}{3})^2 - 4x - 12 = 0$ ⇒ $x^{2} +( \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}) - 4x - 12 = 0$ ⇒ $x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3}x - 4x + \frac{4}{3} - 12 = 0$ ⇒ $\frac{4}{3} x^{2} - \frac{16}{3}x - \frac{32}{3} = 0$

Δ = $b^2 - 4ac$     e   x = $\frac{-b +- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Δ = $(\frac{-16}{3})^2 - 4.( \frac{4}{3} ).( \frac{-32}{3}) = \frac{256}{9} + \frac{512}{9} = \frac{768}{9}$

x(1) = $\frac{ -(\frac{-16}{3}) + \sqrt{ \frac{768}{9} } }{2. \frac{4}{3} } = \frac{ \frac{16}{3} + \frac{16 \sqrt{3} }{3} }{ \frac{8}{3} } = \frac{ \frac{16 + 16 \sqrt{3} }{3} }{ \frac{8}{3} } = \frac{16 +16 \sqrt{3} }{8} = 2 + 2 \sqrt{3}$

x(2) = $\frac{ -(\frac{-16}{3}) - \sqrt{ \frac{768}{9} } }{2. \frac{4}{3} } = \frac{ \frac{16}{3} - \frac{16 \sqrt{3} }{3} }{ \frac{8}{3} } = \frac{ \frac{16 - 16 \sqrt{3} }{3} }{ \frac{8}{3} } = \frac{16 - 16 \sqrt{3} }{8} = 2 - 2 \sqrt{3}$

Agora encontramos os "y" desses dos pontos de tangência. Fazemos isso trocando os "x" que encontramos na equação da reta perpendicular ($y = \frac{- \sqrt{3}}{3}x + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$):

y(1) = $\frac{- \sqrt{3} }{3}(2+2 \sqrt{3}) + \frac{ 2\sqrt{3} }{3} = -\frac{2 \sqrt{3} }{3} - 2 + \frac{2 \sqrt{3} }{3} = -2$

y(2) = $\frac{- \sqrt{3} }{3}(2-2 \sqrt{3}) + \frac{ 2\sqrt{3} }{3} = -\frac{2 \sqrt{3} }{3} + 2 + \frac{2 \sqrt{3} }{3} = 2$

Assim, os pontos Q e P de tangência entre as retas e a circunferência são:

$Q(2+2 \sqrt{3}, -2)$ e $Q(2-2 \sqrt{3}, 2)$

Com isso, agora podemos encontrar as equações das retas tangentes trocando as coordenadas dos pontos que encontramos em y = mx +n:

$Q(2+2 \sqrt{3}, -2)$ ⇒ $y=mx+n$ ⇒ $-2 = \sqrt{3}(2+2 \sqrt{3}) + n$ ⇒$-2 = 2 \sqrt{3} + 6 +n$ ⇒ $n = -2-6- 2\sqrt{3}$ ⇒ $n = -2 \sqrt{3} -8$

Logo, $y = \sqrt{3}x - 2 \sqrt{3} -8$

$Q(2-2 \sqrt{3}, 2)$ ⇒ $y=mx+n$ ⇒ $2 = \sqrt{3}(2-2 \sqrt{3}) + n$ ⇒$2 = 2 \sqrt{3} - 6 +n$ ⇒ $n = 2+6- 2\sqrt{3}$ ⇒ $n = -2 \sqrt{3} +8$

Logo, $y = \sqrt{3}x - 2 \sqrt{3} +8$

Pronto, as equações das retas tangentes que buscamos são:

$y = \sqrt{3}x - 2 \sqrt{3} -8$   e   $y = \sqrt{3}x - 2 \sqrt{3} +8$