Question

Encontre a solução particular y(p) e solução complementar y(c): 2 dy/dx + 4y = 6; y(0) = 3/2

Answer 1

1º passo, encontrar equação característica da EDO e a solução complementar:
$2y'+4y=6\implies 2r+4=0\implies r=-2\\\\y_c(x)=Ae^{-2x}$

2º passo, encontrar solução da EDO com variação de parâmetros:
$y(x)=\mu_1(x)e^{-2x}$

3º passo, encontrar o valor da função arbitrária μ1
$i)~~~2y'+4y=6\\\\ii)~~y'(x)=\mu_1'(x)Ae^{-2x}-2A\mu_1(x)e^{-2x}\\\\iii)~~2y'+4y=2\mu_1'(x)e^{-2x}-4A\mu_1(x)e^{-2x}+4A\mu_1(x)e^{-2x}=6\\\\iv)~~2\mu_1'(x)e^{-2x}=6\\\\v)~~\mu_1'(x)=3e^{2x}$

4º passo, integrar μ1' e encontrar μ1:
$\displaystyle i)~~~~\int\mu'_1(x)dx=\int3e^{2x}dx\\\\ii)~~~\mu_1(x)+c_1=3\int e^udx~~~~~~~~~u(x)=2x\implies \frac{1}{2}du=dx\\\\iii)~~\mu_1(x)=\frac{3}{2}\int e^udu-c_1\\\\iv)~~\mu_1(x)=\frac{3}{2}e^{2x}+c_2-c_1\\\\v)~~~c_2-c_1=A\\\\vi)~~\boxed{\mu_1(x)=\frac{3}{2}e^{2x}+A}$

5º passo, substituir o valor de μ1 em y(x) e subtrair a solução complementar:
$\displaystyle i)~~~~y(x)=\mu_1(x)e^{-2x}=\left(\frac{3}{2}e^{2x}+A\right)e^{-2x}\\\\ii)~~~y(x)=\frac{3}{2}+Ae^{-2x}\\\\y(x)-y_c(x)=\frac{3}{2}+Ae^{-2x}-Ae^{-2x}=\boxed{y_p(x)=\frac{3}{2}}}$

6º passo, ajustar as condições do problema de valor inicial:
$\displaystyle i)~~~~y(0)=\frac{3}{2}\\\\ii)~~~y(0)=\frac{3}{2}+Ae^{0}\\\\iii)~~\frac{3}{2}+A=0\\\\iv)~~A=-\frac{3}{2}$

as soluções complementar e particular são:
$\boxed{\boxed{y_c(x)=-\frac{3}{2}e^{-2x}}}\\\\\boxed{\boxed{y_p(x)=\frac{3}{2}}}\\\\\boxed{\boxed{y(x)=y_c+y_p=-\frac{3}{2}e^{-2x}+\frac{3}{2}}}$

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Bons estudos! :)