Question

Encontre a solução para o sistema

3x + 2y - z = 0
x + 3y + z = 1
2x + 2y - 2z = 2

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular a solução para o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{cases}3x+2y-z=0\\x+3y+z=1\\2x+2y-2z=2\\\end{cases}$

Simplifique a terceira equação por um fator $2$, de modo que tenhamos:

$\begin{cases}3x+2y-z=0\\x+3y+z=1\\x+y-z=1\\\end{cases}$

Subtraindo a terceira equação da primeira equação, temos:

$3x+2y-z-(x+y-z)=0-1\\\\\\ 2x+y=-1~\bold{(I)}$

Some a segunda e terceira equações

$x+3y+z+(x+y-z)=1+1\\\\\\ 2x+4y=2$

Simplifique a equação por um fator $2$

$x+2y=1~\bold{(II)}$

Fazendo um sistema de equações com $\bold{(I)}$ e $\bold{(II)}$, temos:

$\begin{cases}2x+y=-1\\x+2y=1\\\end{cases}$

Multiplique a primeira equação por um fator $(-2)$ e some à segunda equação

$L_1\cdot(-2)+L_2\\\\\\ (2x+y)\cdot(-2)+x+2y=(-1)\cdot(-2)+1\\\\\\ -4x-2y+x+2y=2+1\\\\\\ -3x=3$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $(-3)$

$\boxed{x=-1}$

Substituindo este resultado em $\bold{(II)}$, temos:

$-1+2y=1$

Some $1$ em ambos os lados da igualdade

$2y=2$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2$

$\boxed{y=1}$

Substituindo este resultado em qualquer uma das equações do sistema linear original, temos:

$-1+3\cdot1+z=1\\\\\\ -1+3+z=1\\\\\\ z+2=1$

Subtraia $2$ em ambos os lados da igualdade

$\boxed{z=-1}$

Com isso, a solução deste sistema de equações lineares é o conjunto:

$\boxed{\bold{S=\{(x,~y,~z)\in\mathbb{R}^3~|~(x,~y,~z)=(-1,~1,\,-1)\}}}$