Question

encontre a solução para a integral?

Answer 1

$I=\displaystyle\int{\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos^{2}x}\,dx}$


$\bullet\;\;$ Façamos a seguinte substituição (ou mudança de variável):

$u=\cos x\;\;\Rightarrow\;\;du=-\mathrm{sen\,}x\,dx\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{sen\,}x\,dx=-du$


Substituindo, a integral fica

$I=\displaystyle\int{\dfrac{-1}{u^{2}}\,du}\\ \\ \\ =-1\cdot \int{\dfrac{1}{u^{2}}\,du}\\ \\ \\ =-1\cdot \int{u^{-2}}\,du$


$\bullet\;\;$ Utilizando a regra da potência, temos

$I=-1\cdot \dfrac{u^{-2+1}}{-2+1}\\ \\ \\ =-1\cdot \dfrac{u^{-1}}{-1}+C\\ \\ \\ =u^{-1}+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{u}+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{\cos x}+C\\ \\ \\ =\sec x+C$


Resposta: alternativa $\text{b) }\sec x+C.$