Question

Encontre a solução geral da equação diferencial y´( x)+ 1/x y²(x)=0 e assinale a alternativa correta?

Answer 1

Resposta:

Sua equação diferencial é:

$\sf y'(x)+\frac{1}{x}y^2(x)=0$

Na notação de Leibniz:

$\sf \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y^2=0$

Fica fácil resolver por separação de variáveis. Assim segue que:

$\sf \frac{dy}{dx}=-\,\frac{1}{x}y^2$

$\sf \frac{1}{y^2}dy=-\,\frac{1}{x}dx$

$\sf \int\sf\frac{1}{y^2}dy=\int\sf\!-\,\frac{1}{x}dx$

$\sf \int\sf y^{-2}dy=-\int\sf\frac{1}{x}dx$

$\sf \frac{y^{-2+1}}{-2+1}+\mathnormal{C}_1=-\,ln\,x+\mathnormal{C}_2$

$\sf \frac{y^{-1}}{-1}+\mathnormal{C}_1=-\,ln\,x+\mathnormal{C}_2$

$\sf -\,\frac{1}{y}+\mathnormal{C}_1=-\,ln\,x+\mathnormal{C}_2$

$\sf -\,\frac{1}{y}=-\,ln\,x+\mathnormal{C}_2-\mathnormal{C}_1$

Uma constante real menos outra constante real vai dar uma outra constante também real. Assim:

$\sf -\,\frac{1}{y}=-\,ln\,x+\mathnormal{C}$

$\sf y(-\,ln\,x+\mathnormal{C})=-\,1$

$\red{\sf y=-\frac{1}{-\,ln\,x\,+\,\mathnormal{C}}}$

Letra A