Question

Encontre a solução do problema de valor inicial dado pela equação y`(x) + 1\x y(x) = x-1 e condição inicial y(1) = 0 , e assinale a alternativa correta

a) y(x) = x²\3 - x\2 + 1

b) y(x) = - x²\3 + x\2 + x

c) y(x) = x² - x\2 + 1\x

d) y(x) = - 2x²\3 + 2x + 1

e) y(x) = x²\3 - x\2 + 1\6x

Answer 1

Resposta:

É possível aplicar o método do fator integrante, visto que a equação se encontra na forma:

$\sf y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$

Isto é,

$\sf y'(x)+\dfrac{1}{x}y(x)=x-1\implies p(x)=\dfrac{1}{x},~q(x)=x-1.$

Inicialmente, encontremos o fator integrante $\mu$:

$\sf\mu =e^{\int\sf \!p(x)dx}$

$\sf\mu =e^{\int\sf \!\frac{1}{x}dx}$

$\sf\mu =e^{ln\,x}$

$\sf\mu =x$

Assim:

$\sf\mu \cdot y(x)=\int[\mu\sf\cdot q(x)]dx$

$\sf x\cdot y(x)=\int\sf [x\cdot (x-1)]dx$

$\sf x\cdot y(x)=\int\sf (x^2-x)dx$

$\sf x\cdot y(x)=\int\sf x^2dx-\int\sf xdx$

$\sf x\cdot y(x)=\dfrac{x^3}{3}+c_1-\dfrac{x^2}{2}+c_2$

$\sf x\cdot y(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+C,~c_1+c_2=C$

$\sf y(x)=\dfrac{1}{x}\cdot\bigg(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+C\bigg)$

$\sf y(x)=\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{C}{x}~\rightarrow sol.~geral.$

Dado a condição inicial imposta y(1) = 0, segue que:

$\sf y(1)=\dfrac{1^2}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{C}{1}=0$

$\sf \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+C=0$

$\sf \dfrac{2}{6}-\dfrac{3}{6}+C=0$

$\sf C-\dfrac{1}{6}=0$

$\sf C=\dfrac{1}{6}$

Portanto,

$\sf y(x)=\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\frac{1}{6}}{x}$

$\red{\underline{\boxed{\sf y(x)=\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{6x}}}}$

Letra E