Question

Encontre a solução da equação diferencial de variáveis separadas. \({dy\over dx} = {y^3\over x^2}\) y-2 = 2x-1 + C y-2 = 3x + C y-2 = 3x-1 + C y = 2x + C y-3 = 2x-2 + C

Answer 1

Temos que a equação diferencial separável é $\frac{dy}{dx}=\frac{y^3}{x^2}$.

Então, podemos dizer que $\frac{dy}{y^3}=\frac{dx}{x^2}$.

Integrando ambos os lados da equação:

$\int\ {\frac{1}{y^3}} \, dy=\int\ {\frac{1}{x^2}} \, dx$

Assim, temos que:

$-\frac{1}{2y^2} =- \frac{1}{x}+c$

ou seja,

$\frac{1}{2y^2}=\frac{1}{x} + c_1$

$\frac{1}{2y^2}=\frac{1+c_1x}{x}$

Como queremos a solução para a EDO, então precisamos isolar o y:

$2y^2 =\frac{x}{1+c_1x}$

$y^2 =\frac{x}{2(1+c_1x)}$

$y = +-\sqrt{\frac{x}{2(1+c_1x)}}$ → essas são as duas soluções possíveis para a equação diferencial separável.