Question

encontre a matriz inversa de (2 1 1 3)

Answer 1

1) Calcular determinante da matriz:
$\displaystyle \det\left[\begin{array}{cc}2&1\\1&3\end{array}\right] =(2\cdot 3)-(1\cdot1)=6-1=\boxed{5}$

2) Calcular conjugado transposto da matriz (Conjugado transposto é a transposta da matriz dos cofatores):
$A^*=\left[\begin{array}{cc}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{array}\right]\\\\ A_{11}=-1^{1+1}\cdot3=3\\A_{12}=-1^{1+2}\cdot1=-1\\A_{21}=-1^{2+1}\cdot1=-1\\A_{22}=-1^{2+2}\cdot2=2\\\\ \bar{A}= \left[\begin{array}{cc}3&-1\\-1&2\end{array}\right] \implies \boxed{A^*= \left[\begin{array}{cc}3&-1\\-1&2\end{array}\right] }$

3) Calcular matriz inversa:
Seja A uma matriz inversível, sua matriz inversa será dada por:
$\displaystyle A^{-1}=\det^{-1}A\cdot A^*=\frac{1}{\det A}A^*$

No nosso caso:
$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3&-1\\-1&2\end{array}\right]=\boxed{\boxed{ \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{array}\right]}}$

4) comprovar:
Ao multiplicarmos uma matriz pela sua inversa, obteremos a matriz identidade $A\cdot A^{-1}=I_N$ 
$\displaystyle \left[\begin{array}{cc}2&1\\1&3\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}(\frac{6}{5}-\frac{1}{5})&(-\frac{2}{5}+\frac{2}{5})\\\\(\frac{3}{5}-\frac{3}{5})&(-\frac{1}{5}+\frac{6}{5})\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Então:
A matriz inversa da dada na questão é:
$\boxed{\boxed{A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{array}\right]}}$