Question

Encontre a integral indefinida ∫ tan x sec²x dx.
Escolha uma:
a. sec²x+C
b. sec²x/2+C
c. tanxsecx+C
d. secx+C
e. tanx+C

Answer 1

∫ tan(x) sec²(x) dx

Substituição:

u = tan(x)

du = sec²(x)dx

∫u du = u²/2 + K

∫ tan(x) sec²(x)dx = tan²(x)/2 + K

Answer 2

Resposta:  alternativa b. sec²x/2 + C

Explicação passo a passo:

Calcular a integral indefinida:

    $\displaystyle\int \tan x\sec^2 x\,dx$

• Método (1):

Separe um fator sec x em evidência:

    $\displaystyle=\int \sec x\cdot \tan x\sec x\,dx$

Faça a substituição

    $\sec x=u\quad\Longrightarrow\quad \tan x\sec x\,dx=du$

e a integral fica

    $\displaystyle\int u\,du$

Integramos a função em u aplicando a regra da potência:

    $=\dfrac{u^{1+1}}{1+1}+C\\\\\\=\dfrac{u^2}{2}+C$

Substituindo de volta para a variável x:

    $=\dfrac{\sec^2 x}{2}+C\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta:~alternativa~b.}$

• Método (2):

    $\displaystyle\int \tan x\sec^2 x\,dx$

Faça a substituição

    $\tan x=v\quad\Longrightarrow\quad \sec^2 x\,dx=dv$

e a integral fica

    $\displaystyle=\int v\,dv$

Novamente, pela regra da potência,

    $=\dfrac{v^2}{2}+C\\\\\\=\dfrac{\tan^2 x}{2}+C\quad\longleftarrow\quad \mathsf{tamb\acute{e}m~est\acute{a}~correta.}$

Observe que as respostas obtidas pelos dois métodos estão corretas e ambas diferem entre si apenas por uma constante:

    $\dfrac{\sec^2 x}{2}-\dfrac{\tan^2 x}{2}\\\\\\=\dfrac{1}{2}\,\underbrace{{(\sec^2 x-\tan^2 x)}}_{=\,1}\\\\\\=\dfrac{1}{2}\qquad\checkmark$

e isso ocorre para quaisquer duas funções cujas derivadas são iguais entre si: a diferença entre ambas é uma constante.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!