Question

Encontre a fórmula da transformação linear T do R² no R² tal que T(1, 0) = (3, 5) e T(0, 1) = (2, 1)

Answer 1

Encontrando a fórmula da transformação linear pedida, obtemos

$\Large\text{ T(x,\,y)=(3x+2y,\,5x+y) .}$

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Para resolvermos esta questão, aplicaremos o teorema apresentado a seguir.

Teorema: Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o corpo $\mathbb{R}$ e $\{v_1,\,\ldots,\,v_n\}$ uma base de $V.$ Se $w_1,\,\ldots,\,w_n$ são elementos arbitrários de $W,$ então existe uma única transformação linear $T: V\to W$ tal que $T(v_1)=w_1,\,\ldots,\,T(v_n)=w_n.$ Se $v=a_1v_1+\ldots a_nv_n,$ essa transformação é dada por

$\Large\begin{aligned}T(v)&=a_1T(v_1)+\ldots +a_nT(v_n)\\\\&=a_1w_1+\ldots +a_nw_n.\end{aligned}$

Nesta questão, deseja-se encontrar a fórmula da transformação linear $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ de modo que $T(1,\,0)=(3,\,5)$ e $T(0,\,1)=(2,\,1).$

Veja que os vetores $e_1=(1,\,0)$ e $e_2=(0,\,1)$ formam a base canônica do $\mathbb{R}^2.$

Assim sendo, seja $v=(x,\,y)$ um vetor arbitrário de $\mathbb{R}^2.$ Pelo teorema apresentado, segue que:

$\Large\begin{aligned}v&=xe_1+ye_2\\&\qquad\Downarrow\\T(v)&=x\cdot T(1,\,0)+y\cdot T(0,\,1)\\\\&=x\cdot(3,\,5)+y\cdot(2,\,1)\\\\&=(3x,\,5x)+(2y,\,y)\\\\&=(3x+2y,\,5x+y).\end{aligned}$

Portanto, a fórmula da transformação linear desejada é

$\Large\boxed{\boxed{T(x,\,y)=(3x+2y,\,5x+y).}}$

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