Question

Encontre a equação vetorial da reta r que é a interseção dos planos:

a) π : 2x − y + z = 0 e λ : x + 2y − z = 1.

b) π : x + 2y − 3z − 4 = 0 e λ : x − 4y + 2z + 1 = 0.

Answer 1

Resposta:

a) π : 2x − y + z = 0 e λ : x + 2y − z = 1.

vetor normal a π  ==>(2,-1,1)

vetor normal a λ ==>(1,2,-1)

x    y    z    x    y

2   -1    1    2    -1

1     2   -1    1     2

det=x+y+4z+2y-2x+z =-x+3y+5z    ,  (-1,3,5) vetor diretor da reta produzida pela intersecção entre  π   e  λ

2x − y + z = 0  ==>z=y-2x

x + 2y − z = 1  ==>z=x+2y-1

y-2x =x+2y-1

3x=y-1 ==>y=3x-1   ...fazendo x=0 (poderia ser qualquer x) ==>y=-1

z=y-2x  ==>z=y=-1  ==>(0,-1,-1) é um ponto da intersecção, portanto, da reta..

Equação Vetorial:

(x,y,z)=(0,-1,-1) + t * (-1,3,5)     ..... t  ∈  Reais

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b) π : x + 2y − 3z − 4 = 0 e   λ : x − 4y + 2z + 1 = 0.

x    y     z       x      y

1    2    -3      1      2

1    -4    2      1     -4

det=4x-3y-4z-2y-12x-2z = -8x-5y-6z  ...vetor diretor =(-8,-5,-6)

x + 2y − 3z − 4 = 0    ==>x=-2y+3z+4

x − 4y + 2z + 1 = 0    ==>x=4y-2z-1

-2y+3z+4=4y-2z-1

5z+5=6y

fazeno y=0 ==>z=-1

x=2-1=1

(1,0,-1)  é  o ponto da intersecção entre os plano

Equação vetorial:

(x,y,z)= (1,0,-1) + t * (-8,-5,-6)   ..... t  ∈  Reais