Question

Encontre a equação geral do plano passando pelos pontos A(2,1,0), B(3,3,2) e C(1,1,4)

Answer 1

AB=(2-3  , 1-3 , 0-2) =(-1,-2,-2)
AC=(2-1 , 1-1, 0-4) =(1 , 0 ,-4)

AB x AC   *** produto vetorial nos dará o vetor normal ao plano

  x    y    z     x     y
-1   -2   -2   -1   -2
 1    0   -4     1    0

det= 8x -2y-4y +2z = 8x-6y+2z  .....vetor normal ao plano (8,-6,2)

ax+by+cz+D=0

8x-6y+2z + D =0  ...usando ponto  A(2,1,0)

8*2-6*1+2*0 +D =0  ==> D=-16+6=-10

Equação geral do plano  ==> 8x-6y+2z -10 =0

Answer 2

✅ Após ter resolvido todos os cálculos, concluímos que uma da possíveis equação geral do referido plano é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 8x - 6y + 2z - 10 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

                         $\Large\begin{cases}A(2, 1, 0)\\B(3, 3, 2)\\C(1, 1, 4) \end{cases}$

Se estamos querendo montar uma equação geral do plano que passa por estes três pontos, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}a_{\vec{n}}x + b_{\vec{n}}y + c_{\vec{n}}z + d = 0 \end{gathered} }$

Para usar esta fórmula precisamos:

• Encontrar dois vetores coplanares ao plano e de mesma origem. Para isso, fazemos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u} = \overrightarrow{AB} \end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}= B - A \end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (3, 3, 2) - (2, 1, 0) \end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (3 - 2, 3 - 1, 2 - 0) \end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (1, 2, 2) \end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{u} = (1, 2, 2) \end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v} = \overrightarrow{AC} \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= C - A \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (1, 1, 4) - (2, 1, 0) \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (1 - 2, 1 - 1, 4 - 0) \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (-1, 0, 4) \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{v} = (-1, 0, 4) \end{gathered}$

• Calcular o vetor normal ao plano:

        Para isso devemos calcular o produto vetorial entre os vetores "u" e "v", uma vez que o produto vetorial resulta em um vetor simultaneamente ortogonal aos dois vetores coplanares ao plano. Então temos :

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\1 & 2 & 2\\-1 & 0 & 4 \end{vmatrix}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \begin{vmatrix}2 & 2\\0 & 4 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 2\\-1 & 4 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}1 & 2\\-1 & 0 \end{vmatrix}\vec{k} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (8 - 0)\vec{i} - (4 - (-2))\vec{j} + (0 - (-2))\vec{k} \end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 8\vec{i} -6\vec{j} + 2\vec{k} \end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (8, - 6, 2) \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{u}\wedge\vec{v} = (8, -6, 2) \end{gathered}$

• Encontrar o termo independente do plano, isto é, o valor do "d":

        Para isso devemos utilizar o vetor normal "n" e um dos pontos dados do plano. Neste caso, irei utilizar o ponto "A". Então temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}8\cdot2 + (-6)\cdot1 + 2\cdot0 + d = 0 \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}16 - 6 + d = 0 \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}10 + d = 0 \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}d = -10 \end{gathered}$

• Montar a equação do plano:

        Para isso, devemos inserir as coordenadas do vetor normal "n", bem como o valor do "d" na equação "I", ou seja:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}8x - 6y + 2z + (- 10) = 0 \end{gathered}$

✅ Portanto, uma equação do referido plano é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\pi: 8x - 6y + 2z - 10 = 0 \end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/38032909
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Solução gráfica: