Question

Encontre a equação geral do plano A que passa pelo ponto P=(2,1,0) e é perpendicular aos planos A1=x+2y-3z+2 e A2=2x-y+4z-1;

Answer 1

Olá!
  
    Chamemos de  $\pi$  o plano procurado. Ele deve ser perpendicular aos planos $A_1$   e  $A_2$   dados no enunciado. Lembrando que o produto vetorial dentre 2 vetores resulta num terceiro vetor ortogonal simultaneamente aos 2 vetores iniciais, e também que os coeficientes de x, y e z na equação do plano são as coordenadas do vetor normal a cada plano, então precisamos encontrar o vetor normal ao plano procurado, que será dado pelo produto vetorial dos planos dados no enunciado. Depois basta substituir o ponto dado na equação geral do plano para determiná-lo definitivamente. 

Vamos lá! Encontrando o vetor normal  $\vec{n}$   a  $\pi$   :

$\vec{n}=$   $det \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&2&-3\\2&-1&4\end{array}\right] = (8-3)i+(-6-4)j+(-1-4)k = (5,-10,-5)$

Tomemos um vetor paralelo ao encontrado para facilitar as contas. Tomemos $\vec{n}=(1,-2,-1)$  .

Temos, então, que a equação do plano é 

$\pi : x-2y-z+d=0$

Como o ponto $P=(2,1,0)$   está no plano procurado, vamos substitui-lo na equação acima para determinar o valor de $d$  :

$x-2y-z+d=0 \Rightarrow (P\in \pi)\; \; 2-2\cdot(1)-(0)+d=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow d=0 \\ \\ \therefore \\ \\ \pi : x-2y-z=0$

Bons estudos!

Answer 2

A equação geral do plano A é x - 2y - z = 0.

A equação cartesiana do plano é definida da seguinte maneira: ax + by + cz = d, sendo (a,b,c) o vetor normal.

De acordo com o enunciado, o plano A passa pelo ponto P = (2,1,0).

Precisamos, então, do vetor normal.

Para isso, temos a informação de que o plano A é perpendicular aos planos x + 2y - 3z + 2 = 0 e 2x - y + 4z - 1 = 0.

Do plano x + 2y - 3z + 2 = 0, temos que o vetor normal é u = (1,2,-3). Já do plano 2x - y + 4z - 1 = 0, temos que o vetor normal é v = (2,-1,4).

Ao fazermos o produto vetorial entre os vetores u e v, obteremos o vetor normal do plano A.

Sendo assim, vamos calcular o seguinte determinante: $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&2&-3\\2&-1&4\end{array}\right]$.

Assim:

d = i(2.4 - (-1)(-3)) - j(1.4 - 2.(-3)) + k(1.(-1) - 2.2)

d = i.5 - j.10 + k.(-5).

O produto vetorial u x v é igual ao vetor (5,-10,-5).

Logo, a equação do plano é da forma 5x - 10y - 5z = d.

Substituindo o ponto P:

5.2 - 10.1 - 5.0 = d

10 - 10 = d

d = 0.

A equação do plano A é 5x - 10y - 5z = 0 ou x - 2y - z = 0.

Para mais informações sobre plano: https://brainly.com.br/tarefa/18196418