Question

Encontre a equação do plano tangente à superfície z= xe^xy no ponto (2,0,2).​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação do plano tangente à superfície pelo referido ponto "T" é:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi : z = x + 4y \:\:\:}}\end{gathered} }$  

Sejam os dados:

                      $\Large\begin{cases} s: z = f(x, y) = xe^{xy}\\ T = (2, 0, 2)\end{cases}$

Se estamos querendo encontrar a equação do planto tangente `a superfície pelo ponto de tangência "T", devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \bf I\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} z - f(T) = \frac{\partial f}{\partial x}\,(T)(x - x_{T}) + \frac{\partail f}{\partial y}\,(T)(y - y_{T})\end{gathered}$

Agora devemos:

• Calcular o vetor gradiente da função em termos de "x" e "y":

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j}\end{gathered}$                                

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (e^{xy} + xye^{xy})\,\vec{i} + (x^{2}e^{xy})\,\vec{j}\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(x, y)= (e^{xy} + xye^{xy})\,\vec{i} + (x^{2}e^{xy})\,\vec{j}\end{gathered}$      

• Determinar o vetor gradiente da função em termos de "x" e "y" aplicado ao ponto "T":

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(2, 0) = (e^{2\cdot0} + 2\cdot 0\cdot e^{2\cdot0})\,\vec{i} + (2^{2}\cdot e^{2\cdot0})\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (1 + 0)\,\vec{i} + (4)\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\,\vec{i} + 4\,\vec{j}\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(2, 0) = (1, 4)\end{gathered}$

• Obter o valor de "f(T)":

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(T) = f(2, 0) = 2\cdot e^{2\cdot0} = 2\cdot1 = 2\end{gathered}$

• Montar a equação do plano tangente à superfície:

        Para isso devemos substituir os valores das derivadas parciais, coordenadas do ponto de tangencia e o valor da função no ponto "T" na equação "I".

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} z - 2 = 1(x - 2) + 4(y - 0)\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} z - 2 = x - 2 + 4y \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = x - 2 + 4y + 2\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = x + 4y\end{gathered}$

✅ Portanto, o plano tangente é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: z = x + 4y\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$