Question

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função do item f(x) = √3x − 2 que tenha coeficiente angular igual a 1/2.(OBS a raiz é somente no 3x)

Answer 1

Tendo uma função qualquer $f(x)$ a equação da reta tangente a essa função é do tipo $y = m.x + n$, onde temos a seguinte relação :

$\fbox{\displaystyle m = f'(x) }$

( o coeficiente angular da reta tangente é a derivada da função f(x) ).

Sabendo disso vamos para nossa questão :

A questão nos informa o seguinte :

$\fbox{\displaystyle f(x) = \sqrt{3x} - 2 }$

e nos pede a reta tangente, onde $m = \frac{1}{2}$

Então vamos derivar a função para acharmos o coeficiente angular e igualá-lo a $\frac{1}{2}$.

$\fbox{\displaystyle m = f'(x) }$

ou seja :

$\fbox{\displaystyle m = [\sqrt{3x} - 2]' }$

note que eu posso escrever $\sqrt{3x} = (3x)^{\frac{1}{2}}$, só pra facilitar a derivada.

ficando :

$\fbox{\displaystyle m = [(3x)^{\frac{1}{2}} - 2]' \to m = \frac{1}{2}.(3x)^{\frac{1}{2}-1 } - 0 }$

$\fbox{\displaystyle m= \frac{1}{2}.(3x)^{\frac{1}{2}-1 } - 0 \to m = \frac{1}{2}.(3x)^{\frac{-1}{2}} \to m = \frac{1}{2.\sqrt{3x} } }$

porém $m = \frac{1}{2}$, então :

$\fbox{\displaystyle m = \frac{1}{2.\sqrt{3x} } \to \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{3x}} \to 1 = \frac{1}{\sqrt{3x}} \to \sqrt{3x} = 1 }$

elevando ao quadrado dois lados e isolando x.

$\fbox{\displaystyle \sqrt{3x} = 1 \to 3x = 1 \to x= \frac{1}{3} }$

sabendo o valor de x, podemos substituir na f(x) para encontrar o y, ou seja :

$\fbox{\displaystyle f(x) = \sqrt{3x} - 2 }$

substituindo $x = \frac{1}{3}$

$\fbox{\displaystyle f(x) = \sqrt{3\frac{1}{3}} - 2 \to y = \sqrt{1} -2 \to y = -1 }$

Então, temo seguinte :

a reta tangente : $y = m.x + n$  

Agora temos o ponto $(\frac{1}{3}, - 1)$

então podemos substituir na função da reta tangente e achar o valor de n. ficando assim :

$\fbox{\displaystyle -1 = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} + n }$

$\fbox{\displaystyle -1 = \frac{1}{6} + n \to n = -1 - \frac{1}{6} \to n = \frac{-7}{6} }$

então a equação da nossa reta tangente é :

( equação reduzida) :

$\fbox{\displaystyle y = \frac{x}{2} -\frac{7}{6} }$

Equação sem ser reduzia :

$\fbox{\displaystyle - \frac{x}{2} + y + \frac{7}{6} }$