Question

Encontre a equação da reta tangente à superfície $\sf S:xe^y - z = 0$ pelo ponto $\sf (2{,} 0{,} 2)$.​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação do plano tangente à referida superfície pelo ponto de tangência "T" é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi : x + 2y - z = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Sejam os dados:

                   $\Large\begin{cases} s: xe^{y} - z = 0\\T = (2, 0, 2)\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Verificar se o referido ponto de fato pertence à superfície. Para isso devemos substituir as coordenadas do ponto dado na referida equação e verifica se ambos os membros são iguais. Então, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot e^{0} - 2 = 0\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot1 - 2 = 0\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2 - 2 = 0\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:T \in s\end{gathered}$

          Dessa forma devemos continuar com os cálculos.

• Calcular o vetor gradiente da superfície:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\,f_{y}(x, y, z),\,f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{k}\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = e^y\,\vec{i} + xe^{y}\,\vec{j} + (-1)\,\vec{k}\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (e^{y},\,xe^{y},\,-1)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(x, y, z) = (e^{y},\,xe^{y},\,-1)\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente da superfície aplicado ao ponto T:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(2, 0, 2) = (e^{0},\,2\cdot e^{0},\,-1) = (1, 2, -1)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(2, 0, 2) = (1, 2, -1)\end{gathered}$        

• Identificar o vetor normal:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = \vec{\nabla} f(2, 0, 2) = (1, 2, -1)\end{gathered}$

• Montar a equação do plano tangente. Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$     $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$

       Substituindo tanto as coordenadas do ponto "T" quanto as componentes do vetor normal "n" na equação "I", temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot x + 2\cdot y + (-1)\cdot z = 1\cdot2 + 2\cdot 0 + (-1)\cdot 2\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x + 2y - z = 2 + 0 - 2\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x + 2y - z = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano tangente à referida superfície é:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: x + 2y - z = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$