Question

Encontre a equação da reta tangente à curva y=2/x no ponto P(2,1) usando a definição de limite. (explicações pfv)

Answer 1

A inclinação da reta tangente ao gráfico de $y=f(x)$ no ponto $(2,1)$ é a derivada da função avaliada em $x=2$

Essa derivada é, por definição:

$f'(2)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\\\\\\f'(2)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\frac{2}{2+h}-\frac{2}{2}}{h}\\\\\\f'(2)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{\frac{2}{2+h}-1}{h}\\\\\\f'(2)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{[\frac{2-(2+h)}{2+h}]}{h}\\\\\\f'(2)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{[\frac{2-2-h}{2+h}]}{h}\\\\\\f'(2)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{-h}{h(2+h)}$

Como $h\neq0$ no limite, podemos cancelar h:

$f'(2)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{-1}{2+h}\\\\\\f'(2)=-\dfrac{1}{2+0}\\\\\\\boxed{\boxed{f'(2)=-\dfrac{1}{2}}}$

Esse é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto (2,1)

Para encontrar a equação da reta, usaremos a forma inclinação-ponto:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})\\\\y-f(2)=f'(2)(x-2)\\\\y-\frac{2}{2}=-\frac{1}{2}(x-2)\\\\y-1=-\frac{1}{2}x+1\\\\y=-\frac{1}{2}+1+1\\\\\\\boxed{\boxed{y=-\frac{x}{2}+2}}$