Question

Encontre a equação da circunferência que contém os pontos (0, -3), (0, 1) e a coordenada x do centro é 1.

Answer 1

Queremos encontrar a equação de uma circunferência de raio $r$ e centro $C\left(1,\,y_{_{C}} \right )$, que passa pelos pontos $A\left(0,\,-3\right )$ e $B\left(0,\,1\right )$.


O centro é equidistante de qualquer ponto da circunferência, e essa distância é a medida do raio $r$. Sendo assim, a distancia de $C$ ao ponto $A$ é igual a distância de $C$ ao ponto $B$:

$r=d_{_{CA}}=d_{_{CB}}\\ \\ \\ \sqrt{\left( x_{_{A}}-x_{_{C}}\right )^{2}+\left( y_{_{A}}-y_{_{C}}\right )^{2}}=\sqrt{\left( x_{_{B}}-x_{_{C}}\right )^{2}+\left( y_{_{B}}-y_{_{C}}\right )^{2}}\\ \\ \sqrt{\left( 0-1\right )^{2}+\left( -3-y_{_{C}}\right )^{2}}=\sqrt{\left( 0-1\right )^{2}+\left( 1-y_{_{C}}\right )^{2}}\\ \\ \sqrt{\left(-1\right )^{2}+\left( -3-y_{_{C}}\right )^{2}}=\sqrt{\left(-1\right )^{2}+\left( 1-y_{_{C}}\right )^{2}}\\ \\ \sqrt{1+\left( -3-y_{_{C}}\right )^{2}}=\sqrt{1+\left( 1-y_{_{C}}\right )^{2}}\\ \\ \left(\sqrt{1+\left( -3-y_{_{C}}\right )^{2}} \right )^{2}=\left(\sqrt{1+\left( 1-y_{_{C}}\right )^{2}} \right )^{2}\\ \\ 1+\left( -3-y_{_{C}}\right )^{2}=1+\left( 1-y_{_{C}}\right )^{2}\\ \\ 1+9+6y_{_{C}}+y_{_C}^{2}=1+1-2y_{_{C}}+y_{_{C}}^{2}\\ \\ 10+6y_{_{C}}=2-2y_{_{C}}\\ \\ 6y_{_{C}}+2y_{_{C}}=2-10\\ \\ 8y_{_{C}}=-8\\ \\ y_{_{C}}=\dfrac{-8}{8}\\ \\ \boxed{y_{_{C}}=-1}$


O centro é o ponto $C\left(1,\,-1\right)$.


O raio da circunferência é a distância do centro até um dos pontos $A$ ou $B$:

$r=d_{_{CA}}\\ \\ r=\sqrt{1+\left( -3-y_{_{C}}\right )^{2}}\\ \\ r=\sqrt{1+\left(-3-\left(-1 \right ) \right )^{2}}\\ \\ r=\sqrt{1+\left(-3+1 \right )^{2}}\\ \\ r=\sqrt{1+\left(-2 \right )^{2}}\\ \\ r=\sqrt{1+4}\\ \\ \boxed{r=\sqrt{5}}$


Conhecidas as coordenadas do centro e a medida do raio, a equação da circunferência é dada por

$\left(x-x_{_{C}}\right)^{2}+\left(y-y_{_{C}}\right)^{2}=r^{2}\\ \\ \\ \left(x-1\right)^{2}+\left(y-\left(-1\right)\right)^{2}=\left(\sqrt{5} \right )^{2}\\ \\ \boxed{\left(x-1\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=5}$