Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 5 meses atrás

encontre a derivada de f(x)=1/x+2

Soluções para a tarefa

Respondido por Skoy

A derivada de f(x)=1/x+2 é f'(x) = - 1 / (x+2)².

Bom, para calcularmos a derivada dessa questão, devemos saber a regra do quociente, que é dada por:

$\boxed{ \mathbf{\left[\left(\frac{f}{g} \right) \right]' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} } }$

Aplicando na sua resposta temos que:

$\mathbf{ f(x) = \dfrac{1}{x + 2} } \\\\\\ \mathbf{ f'(x) = \dfrac{[( 1 )]' \cdot (x+2) - 1 \cdot [( x+2)]'}{(x + 2)^2} }\\\\\\ \mathbf{ f'(x) = \dfrac{0\cdot (x+2) - 1 \cdot 1}{(x + 2)^2} }\\\\\\ \mathbf{ \boxed{\mathbf{ f'(x) = -\dfrac{ 1 }{(x + 2)^2} }}}$

Portanto, o f'(x) é igual a - 1 / (x+2)².

Veja mais sobre derivadas:

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/28043498

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/38549705

Anexos:

Usuário anônimo: Vlw mano, é isso msm

solkarped: Resposta CORRETA. Vale ser marcada como a melhor!!!!

Respondido por Buckethead1

A derivada de f é $\tt f'(x)=-\dfrac{1}{(x+2)^2}$

A derivada representa uma taxa de crescimento ou decrescimento de uma curva de uma função. Essa taxa é a inclinação da reta tangente a um ponto específico de uma curva.

Veja a imagem, calcular o coeficiente angular/inclinação para a reta em azul é bem simples, para isso podemos deduzir facilmente a seguinte expressão por meio de trigonometria e se baseando no gráfico da imagem anexada

$\huge \underline{\boxed{\tt \tan \phi = m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}}}$

Para uma reta é trivial, mas e para uma curva, haja visto que uma reta tangencia uma curva em apenas um ponto? Agora nos deparamos com o problema da reta tangente.

Para resolve-lo analise o gráfico da imagem, note que não podemos usar a expressão acima para calcular a inclinação da reta tangente, pois só possuímos um ponto. Então vamos imaginar a tangente e também uma reta que corta a função em dois pontos, essa reta recebe o nome de reta secante, para ela fica simples calcular sua inclinação admitindo o ponto onde a reta tangente toca e outro ponto arbitrário na curva. Vamos equacionar:

$\Large \tt m_{sec} = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{\Delta x}$

Escrevendo $\tt x_2$ em função de $\tt \Delta x$ teremos que $\tt x_2 = x_1 + \Delta x$ , podemos substituir isso em $\tt x_2$

$\Large \tt m_{sec} = \dfrac{f(x_1 + \Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}$

Essa é a inclinação da reta secante. Agora veja que interessante, se nos utilizarmos de outro conceito de cálculo, os limites, podemos fazer $\tt \Delta x$ tender a zero ( $\tt \Delta x \to 0$ ), ou seja, aproximar infinitesimalmente a reta secante da reta tangente de modo a ficarem praticamente colineares, a partir disso, você concorda que a inclinação da reta tangente será a mesma da reta secante? Antecipando sua resposta eu digo que sim. Essa é a beleza do cálculo diferencial integral. Façamos então:

$\Large \tt m_{tan} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_1 + \Delta x)-f(x_1)}{\Delta x}$

Essa é a notação de limite para uma derivada.

Olha que magnífico, praticamente movemos uma reta de coeficiente angular conhecido para se sobrepor a outra que queremos estudar, apenas fazendo a sua variação no eixo x ir para zero.

Essa foi uma introdução para que você compreenda o conceito por tráz de uma derivada.

Para esse exercício, vamos utilizar a regra da cadeia, posto que temos uma composição de funções, porém poderia ser utilizada a regra do quociente, eu prefiro assim pois é mais simples.

A regra da cadeia é simples. Se temos uma função composta $\tt f \circ g = f\left[g(x)\right]$ , podemos utilizar o seguinte método

$\huge\underline{\boxed{\tt F'(x) = f'\left[g(x)\right] \cdot g'(x)}}$

Ou seja, você poderá utilizar o método da mudança de variável para simplificar a composição.

Vamos usar também a regra da potência. Não estranhe a notação de Leibniz $\tt \tfrac{d}{dx} f(x)$ , é outra forma de representar um operador diferencial.

$\huge\underline{\boxed{\tt \dfrac{d}{dx}( x^n ) = nx^{n-1} }}$

❏ Sabendo disso, vamos à resolução:

Vamos “organizar” a função, partindo do princípio de que uma potência com expoente negativo nada mais é do que uma fração ( $\tt a^{-1} = \tfrac{1}{a}$ ):

$\Large \tt f(x) = \dfrac{1}{x + 2} \Rightarrow \\ \\ \Large \tt f(x) = (x + 2)^{ - 1}$

Definindo u como sendo x + 2 ( $\tt u \equiv x+2$ ), temos

$\Large \displaystyle \tt f(u) = u^{-1}$

Aplicando a regra da potência

$\Large \displaystyle \tt f(u) = u^{-1}\:\:\: \\ \\ \Large \displaystyle \tt f'(u) = - u^{ -2}$

Aplicando, por fim, a regra da cadeia

$\Large \tt f'(x) = - (x + 2)^{ -2} \cdot (x + 2)' \\ \\\Large \tt f'(x) = - (x + 2)^{ -2} \cdot 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\\ \\ \Large \red{ \underline{ \boxed{ \tt \therefore\: f'(x) =\frac{ - 1}{(x + 2)^{2} } }}}$