Question

Encontre a área do paralelogramo com três dos seus vértices nos pontos P(1,-2,1) , Q (1,5,-1) e R(3,-1,1).

Answer 1

Calcularemos primeiramente os vetores:

PQ, PR e QR:

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PQ = Q- P

PQ = (1,5,-1) - (1,-2,1)

PQ = (0, 7, -2)
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PR = R - P

PR = (3, -1, 1) - (1, -2, 1)

PR = (2, 1, 0)
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QR = R - Q

QR = (3, -1, 1) - ( 1, 5, -1)

QR = (2, -6 , 2)
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Ao fazer o esboço dos pontos no plano tridimensional. Observamos que:

Vetor QR e PR forma uma aresta.

Logo teremos:





$\\ QRXPR = det \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-6&2\\2&1&0\end{array}\right] \\ \\ QRXPR = i*-6*0+j*2*2+2*1*k- (2*-6*k+1*2*i \\ +(2)*0*j) \\ \\ QRXPR = 0i+4j+2k-(-12k+2i+0j) \\ \\ QRXPR = -2i+4j-0j+0k+14k \\ \\ PQXPR = -2i+4j+14k$

A area sera o módulo |QRXPR|

$\\ A = \sqrt{(-2)^2+(4)^2+(14)^2} \\ \\ A = \sqrt{4+16+196} \\ \\ A = \sqrt{216} \\ \\ A = \sqrt{6^3} \\ \\ A = \sqrt{6^2*6} \\ \\ A = \sqrt{6^2} * \sqrt{6} \\ \\ A =( 6 \sqrt{6} )u.a$