Question

encontre a área da região r limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando integral dupla

Answer 1

Primeiramente, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas y = x² e y = x + 2.

Igualando as duas curvas:

x² = x + 2
x² - x - 2 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara para calcularmos as raízes:

Δ = (-1)² - 4.1.(-2)
Δ = 1 + 8
Δ = 9

$x = \frac{-(-1)+- \sqrt{9} }{2}$
$x = \frac{1+-3}{2}$

$x'= \frac{1+3}{2} = 2$
$x"= \frac{1-3}{2} = -1$

Portanto,

Quando x = 2, y = 4 
Quando x = -1, y = 1

Sendo assim:

{-1 ≤ x ≤ 2
{x² ≤ y ≤ x + 2

Calculando a área da região entre as curvas:

$A = \int\limits^2_{-1} \int\limits^{x+2}_{x^2} \, dydx$ 
$A = \int\limits^2_{-1} {x+2-x^2} \, dx$
$A = \frac{x^2}{2} +2x- \frac{x^3}{3}$

Aplicando os limites de integração:

$A = \frac{2^2}{2}+2.2- \frac{2^3}{3} -( \frac{(-1)^2}{2}+2(-1)- \frac{(-1)^3}{3})$
$A = 2+4-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{1}{3}$
$A = 8 - 3 -\frac{1}{2}$
$A = 5 - \frac{1}{2}$
$A = \frac{9}{2}$