Question

encontre a área da região entre y=3x²+12 e y=4x+4, ao longo de [-3x3]. Conforme a figura:

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\begin{cases}\sf y = 3x {}^{2} + 12 \\ \sf y = 4x + 4\end{cases}$

A primeira coisa que deveríamos fazer, é encontrar os limites de integração, mas pelo motivo de que a questão nos fornece esse dado $[-3,3]$ vamos partir para o próximo passo. Sabendo dos limites, vamos para a montagem da equação que configura a área formada pela a sombra gerada pela função que está acima ($y=3x^{2}+12$).

$\sf \int\limits_{a}^{b} (f(x) - g(x))dx$

Partindo de que a integral de área possui esse formato de que a função está está acima subtraída da função abaixo gera a equação que configura a área formada, vamos escrever as equações que possuímos nos seus devidos locais e os limites de Integração:

$\sf\int\limits_{ - 3}^{3}( 3 {x}^{2} + 1 2 - (4x + 4))dx \: \\ \sf\int\limits_{ - 3}^{3}( 3x {}^{2} + 12 - 4x - 4)dx \: \: \: \: \: \: \\ \sf\int\limits_{ - 3}^{3}( 3x {}^{2} - 4x + 8 )dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf\int\limits_{ - 3}^{3} 3x {}^{2}dx - \sf\int\limits_{ - 3}^{3} 4x dx + \sf\int\limits_{ - 3}^{3} 8 dx$

Agora vamos Integrar essas funções normalmente pelas regras de integração.

$\boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} + c} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\int\limits_{ - 3}^{3} 3x {}^{2}dx - \sf\int\limits_{ - 3}^{3} 4x dx + \sf\int\limits_{ - 3}^{3} 8 dx \\ \\ \sf\frac{3x {}^{3} }{3} - \frac{4 {x}^{2} }{2} + 8x\bigg |_{ - 3}^{3 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf x {}^{3} - 2x {}^{2} + 8x\bigg |_{ - 3}^{3 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Por fim, basta aplicar o Teorema fundamental do cálculo nessa expressão:

$\sf 3 {}^{3} - 2.(3) {}^{2} + 8 .3 - (( - 3) {}^{3} - 2. ( - 3) {}^{2} + 8.( - 3) )\\ \\ \sf 27 - 18 + 24 + 27 + 18 + 24 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 27 + 27 + 24 + 24 = \boxed{\boxed{\sf102 \: u.a}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado