Question

Encontre a área da equação

 

$y=x^3-x,~~y=3x$

Answer 1

Chamemos  $f(x)=x^3-x$  e  $g(x)=3x.$

 

Como o exercício não fornece o intervalo de integração, devemos, primeiramente, analisar como f(x) e g(x) se comportam uma em relação a outra em $\mathbb{R},$  para que possamos determinar se a área é dada por:

$<var>\begin{cases} f(x)-g(x),\text{ se }f(x) \geq g(x),\text{ ou }\\ g(x)-f(x),\text{ se }f(x) \leq g(x)\end{cases}</var>$

 

Investiguemos:

 

$<var>f(x)-g(x)\geq0 \Rightarrow x^3-x-3x\geq0 \Rightarrow x^3-4x\geq0\Rightarrow\\\\x(x^2-4)\geq0\Rightarrow x^2-4\geq0</var>$ 

 

Como  $x^2-4$  é uma parábola com a concavidade voltada para cima e raízes -2 e 2, então, entre as raízes temos  $x^2-4\leq0$

 

Temos, então, que:

 

$<var>\begin{cases} \text{Se }x\leq-2\Rightarrow f(x)\geq g(x)\\ \text{Se }-2\leq x\leq2\Rightarrow f(x)\leq g(x)\\ \text{Se }x\geq2\Rightarrow f(x)\geq g(x) \end{cases}</var>$

 

Podemos agora determinar que diferença de funções devemos integrar, de forma a obter a área entre as curvas.
A área entre as curvas em um intervalo qualquer  $[a,b]\subset\mathbb{R}$  é dada, portanto, por:

 

$<var>\begin{cases} \text{Se }[a,b]\subset(-\infty,-2]:\text{\'Area =}\int\limits_a^b x^3-x-3x\,dx \\\\ \text{Se }[a,b]\subset[-2,2]:\text{\'Area =}\int\limits_a^b 3x-x^3+x\,dx \\\\ \text{Se }[a,b]\subset[2,+\infty):\text{\'Area =}\int\limits_a^b x^3-x-3x\,dx \end{cases}</var>$

 

$<var>\Rightarrow \begin{cases} \text{Se }[a,b]\subset(-\infty,-2]:\text{\'Area =}\int\limits_a^b x^3-4x\,dx \\\\ \text{Se }[a,b]\subset[-2,2]:\text{\'Area =}\int\limits_a^b 4x-x^3\,dx \\\\ \text{Se }[a,b]\subset[2,+\infty):\text{\'Area =}\int\limits_a^b x^3-4x\,dx \end{cases}</var>$

 

Note, especialmente, que qualquer intervalo  $[a,b]\subset\mathbb{R}\ |\ a<2\text{ e }b>2$  pode ser particionado da seguinte forma:

 

$<var>[a,2]\ \bigcup\ [2,b]</var>$

 

A observação é análoga para  $[a,b]\subset\mathbb{R}\ |\ a<-2\text{ e }b>-2$