Question

Encontrar uma primitiva F, da função F(x)=x^(2⁄(3 ))+x, que satisfaça F(1)=1.

Answer 1

$f(x) = x^{ \frac{2}{3} }+x\\\\ \text{primitivando}\\\\F(x)= \int x^{ \frac{2}{3} }+x.dx = \frac{x^{ \frac{2}{3}+1 }}{ \frac{2}{3}+1 } + \frac{x^{1+1}}{1+1} \\\\ = \frac{x^{ \frac{5}{3} }}{ \frac{5}{3} } + \frac{x^2}{2} \\\\= \frac{3x^{ \frac{5}{3} }}{5}+ \frac{x^2}{2} \\\\\ \boxed{F(x)= \frac{3 \sqrt[3]{x^5} }{5} + \frac{x^2}{2}+C }$

F(1) = 1

logo
$1= \frac{3 \sqrt[3]{1^5} }{5} + \frac{1^2}{2}+C }\\\\ 1= \frac{3}{5}+ \frac{1}{2} +C\\\\ 1= \frac{11}{10} +C\\\\ 1-\frac{11}{10}=C\\\\ \frac{-1}{10}=C$

então a função procurada é 
${F(x)= \frac{3 \sqrt[3]{x^5} }{5} + \frac{x^2}{2}- \frac{1}{10}$

Answer 2

A primitiva F da função f(x) = x^(2/3) + x que satisfaça F(1) = 1 é $F(x) = \frac{3x^{\frac53}}5 + \frac{x^{2}}{2} -0,1$

Primitiva ou antiderivada

Uma primitiva, ou antiderivada é uma função cuja derivada é a função original, logo a encontramos integrando a função dada:

$F(x) = \int\limits {(x^\frac23+x)} \, dx$

Sabemos que a integral de xⁿ é xⁿ⁺¹/(n+1) + c, logo:

$F(x) = \frac{x^{\frac23 + 1}}{\frac 23+1} + \frac{x^{1+1}}{1+1} + c\\F(x) = \frac{x^{\frac53}}{\frac 53} + \frac{x^{2}}{2} + c\\F(x) = \frac{3x^{\frac53}}5 + \frac{x^{2}}{2} + c$

O que difere a integral da primitiva é que na primitiva temos o valor da constante c definido. Calculamos o valor da constante c a partir de F(1) = 1, da seguinte maneira:

F(1) = 3/5 + 1/2 + c = 1

6/10 + 5/10 + 10c/10 = 10/10

10c = 10 - 6 -5 = -1

c = -1/10 = -0,1

Veja mais sobre primitivas ou antiderivadas em:

https://brainly.com.br/tarefa/22695203

#SPJ2