Question

Encontrar o limite da função f(x):
nesse caso usa o teorema de confronto

$2-(x-1)^2*\cos^2(\frac{1}{x-1}) \leq f(x) \leq \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

$\lim{x\to1}f(x)$

Answer 1

Perceba que, das identidades trigonométricas:

$\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x+\cos^2x=1\Rightarrow\cos^2x=1-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x$

Substituindo essa relação teremos:

$2-(1-x)^2.\left(1-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}\left(\frac{1}{1-x}\right)\right)\leq f(x)\leq \frac{x^2-1}{x-1}\\ \\ 2-(1-x)^2+\left(\frac{1}{\frac{1}{x-1}}.\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\left(\frac{1}{1-x}\right)\right)^2\leq f(x)\leq \frac{x^2-1}{x-1}$

Perceba que reescrevi um dos membros da desigualdade. Façamos $\frac{1}{1-x}=y$, daí teremos que, quando x tende a 1, y tende ao infinito. Substituindo essas relações e aplicando o limite de x tendendo a 1 em todos os membros teremos:

$2-\lim\limits_{x\to1}(1-x)^2+\lim\limits_{y\to\infty}\left(\frac{1}{y}.\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}y\right)^2^*\leq\lim\limits_{x\to1}f(x)\leq\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\\ \\ 2-0^2+0\leq\lim\limits_{x\to1}f(x)\leq\lim\limits_{x\to1}x+1\\ \\ 2\leq\lim\limits_{x\to1}f(x)\leq2$

Portanto, pelo teorema do confronto, temos que:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to1}f(x)=2}}$


E aquele limite * vale 0 porque a função seno é limitada e está sendo multiplicada por uma que tende a zero. Tem um teorema que afirma isso. Formalmente ele seria enunciado dessa forma, mais ou menos: Seja f(x) = g(x).h(x), onde h(x) é uma função limitada (o módulo dela, em qualquer ponto, é menor ou igual que um real; no caso da função seno temos que |senx|≤1). Temos que

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to a}g(x)=0$