Question

Encontrar o domínio da função f(x) = arc sec[(x²-5x+6)/(x+1)].

Answer 1

Resposta:

D={x∈R/1≤x≤5}

Explicação passo-a-passo:

Sendo a definição de domínio do arco seno sendo -1≤ arcsen(x) ≤1, então substituiremos ela pelo que está entre parênteses:

$-1\leq \frac{x^2-5x+6}{x+1} \leq 1$

Vamos começar por partes:

$-1\leq \frac{x^2-5x+6}{x+1}$

Passando o 1 com o sinal invertido:

$0\leq \frac{x^2-5x+6}{x+1} +1$

Multiplicando o denominador da fração por um e depois somando a ela:

$0\leq \frac{x^2-5x+6+(x+1)}{x+1}$

$0\leq \frac{x^2-4x+7}{x+1}$

Separando o numerador para fatorar, temos:

$0\leq \frac{x^2-4x-x+4+3}{x+1}$

Sendo $(x-2)^2=x^2-4x+4$, substituiremos na fórmula:

$0\leq \frac{(x-2)^2+3}{x+1}$

Trocando de lado:

$\frac{(x-2)^2+3}{x+1} \geq 0$

Agora, vamos estimar os valores do numerador e denominador:

$(x-2)^2+3\geq 0$: Verdadeira ∀x ∈ R

$x+1\geq 0$

zero, quando $x=-1$

positivo, quando $x>-1$

negativo, quando $x<-1$

Somando isso, temos:

$\frac{(x-2)^2+3}{x+1}$ é:

negativo, quando: $x<-1$

Indefinido, quando $x=-1$

positivo, quando$x>-1$

Escolhendo o que satisfaz a equação $\frac{(x-2^2+3)}{x+1} \ge \:0$:

$x\geq -1$ para que a equação seja positiva:

Agora vamos resolver a outra parte:

$\frac{x^2-5x+6}{x+1} \leq 1$

Passando o 1 negativo:

$\frac{x^2-5x+6}{x+1} -1\leq0$

Multiplicando o 1 pelo denominador e somando à fração:

$\frac{x^2-6x+5}{x+1} \leq 0$

Separando os termos do numerador:

$\frac{(x^2-x)+(-5x+5)}{x+1} \leq 0$

Fatorando:

$\frac{x(x-1)-5(x-1)}{x+1} \leq 0$

Fatorando os termos comuns$\frac{(x-5)(x-1)}{x+1} \leq 0$

Agora vamos estimar os valores de cada termo:

$x-5$ é:

zero, quando$x=5$

positivo, quando $x>5$

negativo, quando $x<5$

$x-1$ é:

zero, quando $x=1$

positivo. quando $x>1$

negativo, quando $x<1$

$x+1$ é:

zero, quando $x=-1$

positivo, quando $x>-1$

negativo, quando $x<-1$

Agora, somando as estimações para $\frac{(x-5)(x-1)}{x+1}$:

$\frac{(x-5)(x-1)}{x+1} \leq 0$ é:

negativo, quando $x<1$

Indefinido, quando $x=-1$

positivo, quando $-1<x<1$

zero, quando $x=1$

negativo, quando $1<x<5$

zero, quando $x=5$

positivo, quando $x>5$

Escolhendo o que satisfaz $\frac{(x-5)(x-1)}{x+1} \leq 0$:

$x<-1$ e $1<x<5$, para que ela seja negativa:

Pegando os resultados e somando os intervalos:

$x>-1$ e $x<-1$ ou $1≤x≤5$

]-1,+∞[

]-∞,-1[

[1,5]

Sendo que o segundo intervalo não satisfaz, pois x comparado a ele será indefinido, então o que sobra será:

[1,5] ou D={x∈R/1≤x≤5}