Question

encontrar assíntotas verticais e horizontais quando existir:

f(x) = x / √x²+1

Answer 1

$f(x)= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ 

verificando se possui assíntotas horizontais

$\lim_{x \to+ \infty} \frac{x}{ \sqrt{x^2+1} } \\\\\boxed{\text{colocando }x^2 \text{em evidencia no denominador }}\\\\ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{ \sqrt{x^2*\left(1+ \frac{1}{x^2} }\right) }} = \frac{x}{\sqrt{x^2}*\sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }} \\\\\\\\\boxed{\boxed{ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{||x||* \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }}\right )}}$

agora podemos calcular o limite
quando x por positivo  x/|x| =1
quando x for negativo x/|x| = -1

deste modo jeito temos
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{||x||* \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }}\right )= \frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1\\\\\\\\\\\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{x}{||x||* \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }}\right )= \frac{-1}{\sqrt{1+0}} = -1$

como os limites são valores constantes essa função possui duas assíntotas horizontais que são (x=1 , x=-1)