Question

Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva abaixo

representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em

gramas), t minutos após o café ser despejado. Determine a expressão de M(t) e calcule a

quantidade de açúcar não dissolvido após 50 minutos.

Answer 1

Como a quantidade de açucar dissolvido está decaindo com o tempo, diz-se que essa é uma exponencial decrescente.

A equação M[t] terá a forma:

$M[t] = M_{0} \cdot e^{- \alpha \cdot t}$

Onde: $M_{0}$ é o valor inicial (quando t = 0 min) e $\alpha$ é a constante de decaimento da função.

O valor de $M_{0}$ é facilmente encontrado no gráfico e vale 16. Para encontrar o valor de $\alpha$ precisamos observar que no ponto t = 150 min, o valor de M[150] é 4. Ou seja:

$4 = 16 \cdot e^{- \alpha \cdot 150}$

Passamos o 16 dividindo para o outro lado:

$\frac{4}{16} = e^{- \alpha \cdot \ 150}$

Para calcular alpha, precisamos fazer a operação inversa da exponencial, isto é, aplicamos logaritmo natural dos dois lados da equação:

$ln[\frac{1}{4}] = ln[e^{- \alpha \cdot \ 150}]$

Utiliza-se a propriedade do logaritmo que diz:

$log_{a}[b^{c}] = c \cdot log_{a}[b]$

Ou seja:

$ln[\frac{1}{4}] = - \alpha \cdot 150 \cdot ln[e]$

Mas como:

$log_{a}[a] = 1 \quad e \quad log[\frac{a}{b}] = log[a] - log[b] \quad e \quad log[1] = 0$

Então:

$ln[1] - ln[4]= - \alpha \cdot 150 \cdot 1\\ 0 - ln[4] = -\alpha \cdot 150$

Agora isolamos $\alpha$:

$\alpha = \frac{ln[4]}{150} = 0,009242$

Ou seja:

$M[t] = 16 \cdot e^{-0,009242 \cdot t}$

Para saber a quantidade de açúcar após 50 minutos, basta substituir t por 50 na expressão acima:

$M[t] = 16 \cdot e^{-0,009242 \cdot 50} = 10,0793$