Question

em uma sala , existem quatro pessoas como cidades representadas por numeros inteiros, cuja mediana é 9, a media é 8 e a moda 9. qual é o valor do produto dessas idades sabendo que ele é o minimo

Answer 1

Como são quatro pessoas (considere em ordem numérica)

A B C D

A mediana é a média entre B e C. ($\frac{B+C}{2} = 9$)
A média é ($\frac{A+B+C+D}{2} =8$)
A moda é o número que mais se repete

Como o produto entre as idades é o menor possível, os números serão o menor possível.
Portanto, provavelmente o número 9 repete duas vezes (para ser modal). Se forem C e D, não conseguirei calcular a mediana. Portanto, B e C terão idade de 9 anos. Para continuar com o menor produto, manteremos D como 9 também, o que não mudará a mediana. Agora para saber o valor de A, iremos pela fórmula:

$\dfrac{A+B+C+D}{4} =8 \\ \\ \dfrac{A+9+9+9}{4} =8 \\ \\ \dfrac{A+27}{4} =8 \\ \\ A = 32 - 27 \\ \\ A = 5$

Portanto, temos:

$\boxed{A = 5 }\\ \\ \boxed{B = 9} \\ \\ \boxed{C = 9} \\ \\ \boxed{D = 9}$

=)

Answer 2

Resposta:

1053

Veja a resolução com calma; dará tudo certo! O exercício é grande, mas PRA CIMA!

Pré-requisitos:

Suponhemos que os números sejam a sequência (a,b,c e d), porque não os sabemos.

Do enunciado:

1. Mediana é o "número do meio para sequências ímpares e média aritmética dos números centrais para sequências pares" ⇔ (a,b,c,d) = $\frac{b+c}{2}$. Portanto,

$\frac{b+c}{2}$ = 9 ⇒ b+c = 18 (I)

2. Média é a soma de todos os elementos dividido pela quantidade de elementos na sequência, portanto:

$\frac{a+b+c+d}{4}=8$ ⇒ $a+b+c+d=32$ (II)

3. Moda é o número que mais se repete na sequência - embora tenhamos sequências bimodais, polimodais, que aqui não comtemplarei. Ou seja, no exercício, o número 9 está presente duas ou mais vezes.

Até aqui, beleza? Com esse conhecimento, construemos a resolução juntos!

Resolução:

Aplicando I em II, vem: $a+18+d = 32$⇒$a+d=14$. (III)

Veja bem, agora se tratando da moda:

Se d for 9, então certamente, que algum outro número também o será; assim, vamos analisar para os restantes da sequência:

Por III, sabemos que a+d=14 ⇒ a = 14-9 = 5

• a = 9, absurdo, pois a é 5.
• b = 9, então, teremos a seguinte sequência: (a,b,c,d) = (5,9,9,9), note bem que b+c = 18 (de I) ⇒ c = 9

• c = 9, analogamente, teremos a seguinte sequência (a,b,c,d) = (5,9,9,9)

Podemos pensar agora que chegamos a resposta... mas não! O exercício pediu que achemos o MENOR PRODUTO, e o produto da sequência, isto é, 5*9*9*9 = 3645, não me parece o menor; temos mais casos, portanto.

Se a for 9, então note que por simetria, ele será igual ao de cima e, por consequência, com o mesmo valor.

Porque? Ora, b e c continuam somando 18 e a+d=14 (de III) ⇒a=5, ou seja, "o d de cima vira o a agora", sendo portanto, caracterizado como simetria.

Então, esse caso já está feito? Sim, uhulll!

Se b for 9, por I, c =9. Logo, (a,b,c,d) = (a,9,9,d). E achamos, também, por III, que a soma de a e d.

Obs: Existe um conceito de DIofantina, que significa, praticamente, chutar números e ver o que vai dar.

Como a+b=14, por Diofantina:

a=13 ∴b=1 ⇔ $ab = 13$ (*)

a=12 ∴b=2 ⇔ $ab = 24$

a=11 ∴b=3 ⇔ $ab = 33$

a=10 ∴b=4 ⇔ $ab = 40$

a=9 ∴b=5 ⇔ $ab = 45$

a=8 ∴b=6 ⇔ $ab = 48$

a=7 ∴b=7 (IMPOSSÍVEL, a moda é 9)

Perceba, por simetria, que a partir de agora, "b vira a e vice-versa"

Logo, esses são apenas os casos a ser analisados.

Também, se queremos, o menor produto de $abcd$, então $ad$ tem de ser o mínimo; com efeito, por contraste visual, o (*) é menor.

Logo, juntando tudo, temos: (a,b,c,d) = (13,9,9,1). Multiplicando tudo, vem:

$13*9*9*1 = 1.053$

Com isso, obtemos a resposta.

Um forte abraço, excelente estudo!

"Se os fatos não se encaixam na teoria, modifique os fatos. " Albert Einstein.