Em uma progressão geométrica de razão positiva, sabe-se que o terceiro termo é a dízima
periódica 2,6666 e que o sétimo termo é 128/243 . Calcule o valor da diferença entre o quarto e o
segundo termo desta PG.
Soluções para a tarefa
A diferença entre o quarto e o segundo termo é -20/9.
Progressão geométrica
Uma progressão geométrica é caracterizada por uma sequência de valores crescentes, decrescentes ou alternados, onde a razão entre um valor e seu antecessor é sempre constante. O termo geral da P.G. é dado por aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, sendo q a razão calculada por q = aₙ₊₁/aₙ.
Do enunciado, temos que:
- a₃ = 2,6666... = 8/3
- a₇ = 128/243
- q > 0
Reescrevendo a₃ e a₇:
a₃ = a₁·q²
a₇ = a₁·q⁶
A razão entre a₇ e a₃ é:
(128/243)/(8/3) = a₁·q⁶/a₁·q²
16/81 = q⁶/q²
16/81 = q⁴
q = ⁴√(16/81)
q = 2/3
Calculando a₂ e a₄ a partir de a₃:
a₂ = a₃/q
a₂ = (8/3)(2/3)
a₂ = 4
a₄ = a₃·q
a₄ = (8/3)·(2/3)
a₄ = 16/9
A diferença entre o quarto e o segundo termo é:
a₄ - a₂ = 16/9 - 4
a₄ - a₂ = 16/9 - 36/9
a₄ - a₂ = -20/9
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