Question

em uma progressão geométrica crescente o termo 9 e 4096 e o termo 10 e 8192 encontre a soma dos 13 primeiros termos?​

Answer 1

Sendo "q" a razão da progressão geométrica ("PG") em questão:

$a_9 \times q = a_{10}\\4096q = 8192\\q = 2$

Para saber o valor de $a_1$, usarei a fórmula do termo geral de uma PG:

$a_n = a_1 \times q^{n - 1}\\a_{10} = a_1 \times q^{10-1}\\8192 = a_1 \times 2^9\\512a_1 = 8192\\a_1 = \frac{8192}{512}\\ a_1 = 16$

A soma dos termos de uma PG é dada por:

$S_n = \frac{a_1 \times (q^n - 1)}{q - 1}$

Neste caso:

$S_{13} = \frac{16 \times (2^{13 - 1})}{2 - 1} \\S_{13} = \frac{16 \times 2^{12}}{1} \\S_{13} =16 \times 4096\\S_{13} = 65.536$

Answer 2

A soma dos 13 primeiros termos da PG é igual a 131.056

Para chegarmos nesse resultado, precisamos contextualizar o que é uma progressão geométrica (PG) e suas principais propriedades.

O que é uma PG?

•  Uma PG se trata de uma sequência de números que possui um termo inicial (a1) e, após ele a sequência é formada pela multiplicação de sua razão (q) pelo termo antecessor.

• Exemplo: Temos uma PG de razão q=2 com a1= 2. Qual o terceiro termo (a3) dessa sequência?
  a1 =2 e q=2. Logo a2= a1xq= 2x2=4; a3=a2xq= 4x2=8.
  
  
  

Propriedades principais de uma PG:

• A razão q de uma PG pode ser encontrada dividindo um termo conhecido pelo seu subsequente também conhecido.
  
                               $q=\frac{a_{n} }{a_{n-1} }$
  
• O termo de uma PG pode ser encontrado através da fórmula que envolve o primeiro termo e a razão.
  
                               $a_{n} = a_{1} . q^{n-1}$
  
• Para uma quantidade elevada de termos, podemos calcular a soma dos termos de uma PG através da fórmula:
  
                                $Sn=\frac{a_{1 . (q^{n}-1) } }{q-1} _{}$
  

Desta forma, aplicando no nosso exercício precisamos fazer esse passo a passo:

1) Encontrar a razão da PG

2) Determinar o primeiro termo a1 utilizando o valor de a10 fornecido.

3) Fazer a soma dos 13 primeiros termos da PG.

Com isso, temos que:

1) $q= \frac{a_{10} }{a_{9} } = \frac{8192}{4096} = 2$

2) $a_{10} = a_{1} . q^{n-1} = \frac{a_{10}}{q^{n-1}} = \frac{8192}{2^{10-1} } = > a_{1} =16$

3) $S_{13} = \frac{16{ . (q^{13} -1) } }{q-1} _{} = > S_{13} = \frac{16{ . (2^{13} -1) } }{2-1} _{} = > S_{13} = \frac{16{ . (8192 -1) } }{1} _{} = > S_{13} = 131.056$

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#SPJ2