Question

Em uma Progressão Geométrica com menos de 10 termos, seu terceiro é 81. Sabe-se ainda que 24 e 16 são dois outros termos dessa progressão, não necessariamente consecutivos. Qual a posição que o número 16 ocupa nessa sequência?

A) 5ª
B) 6ª
C) 7ª
D) 8ª
E) 9ª

Answer 1

Podemos começar determinando a razão. Como 81 é o terceiro termo, então temos duas hipóteses: 1ª o 16 e 24 são, respectivamente, o primeiro e segundo termo e o 81 o terceiro (PG crescente). 2ª o 16 e 24 vem depois do 81, sendo, então, uma PG decrescente. Descobrindo a razão é possível saber se 16 e 24 podem ficar antes do 81, já que são consecutivos.

$\displaystyleq_1=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}\\\\\\q_2=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$

Agora, tendo as duas possíveis razões, vamos testá-las.

$\displaystyle 24.q_1=81\\\\24.\frac{3}{2}=\frac{72}{2}=36$

Com isso, se o q1 fosse a razão, então o terceiro termo seria 36 e não 81. Portanto, a razão da PG é o q2 e com isso podemos descobrir os termos da PG que são 16 e 24.

$\displaystyle a_3=81\\\\a_4=81.q_2=81.\frac{2}{3}=54\\\\a_5=54.q_2=54.\frac{2}{3}=36\\\\a_6=36.q_2=36.\frac{2}{3}=24\\\\a_7=54.q_2=24.\frac{2}{3}=16$

Concluindo, os números 16 e 24 são, respectivamente, o 7º e 6º termos.

Alternativa C.