Question

Em uma progressão aritmética, a soma dos 14 primeiros termos
é igual a zero e a soma dos 15 primeiros termos é igual a 45.
O maior elemento negativo dessa progressão é
(A) –3.
(B) –4.
(C) –5.
(D) –6.
(E) –7

Answer 1

Resposta:

(A) –3

Explicação passo-a-passo:

Temos que a soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por:

Sn=((a1 + an)/2).n

Logo, para n=14:

S14=((a1 + a14)/2).14 = 0

((a1 + a14)/2).14 = 0

a1 + a14 = 0

Como an= a1 + (n-1).r, temos então para a14:

a1 + a1 + (14-1).r = 0

2a1 + 13.r = 0 (I)

E para n=15:

S15=((a1 + a15)/2).15 = 45

((a1 + a15)/2).15 = 45

(a1 + a15)/2 = 45/15

(a1 + a15)/2 = 3

a1 + a15 = 3.2

a1 + a15 = 6

Como an= a1 + (n-1).r, temos então para a15:

a1 + a1 + (15-1).r = 6

2a1 + 14.r = 6 (II)

Logo, temos o sistema:

2a1 + 13.r = 0 (I)

2a1 + 14.r = 6 (II)

Fazendo (I) - (II):

13.r - 14.r = 0 - 6

-r = -6 (x -1)

r= 6

Substituindo r em qualquer equação:

2a1 + 13.r = 0

2a1 = -13.r

2a1 = -13.6

a1= -78/2

a1= -39

Portanto, nossa PA tem a seguinte sequência:

-39, -33, -27, -21, -15, -9, -3, 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45

Onde pode ser visto que a soma dos primeiros 14 termos é 0, e a soma dos primeiros 15 termos é 45.

Assim, pode-se ver também que o maior elemento negativo dessa progressão é -3, que equivale ao elemento a7 (7o. elemento).

Blz?

Abs :)

Answer 2

O maior elemento negativo dessa progressão é -3, alternativa A.

Progressão aritmética

Uma progressão aritmética é caracterizada por uma sequência de valores crescentes ou decrescentes, onde a diferença entre um valor e seu antecessor é sempre constante. O termo geral da P.A. é dado por aₙ = a₁ + (n-1)·r, sendo r é a razão calculada por r = aₙ - aₙ₋₁.

Sabemos que a soma dos 14 primeiros termos é zero e a soma dos 15 primeiros termos é 45, logo:

$S_{14} = \dfrac{(a_1 + a_{14})\cdot 14}{2}\\ 0 =(a_1 + a_{14})\cdot 7\\ a_1 + a_{14} = 0 \\ \\ 45 = \dfrac{(a_1 + a_{15})\cdot 15}{2}\\ 90=(a_1 + a_{15})\cdot 15\\\\ a_1 + a_{15} = 6$

Das duas equações, podemos encontrar a razão da P.A.:

a₁ + a₁₄ = 0

a₁ + a₁₅ = 6

Subtraindo as equações:

a₁₅ - a₁₄ = 6 = r

Podemos encontrar a₁ sabendo que:

a₁₄ = a₁ + (14 - 1)·r

a₁₄ = a₁ + 13·r

a₁ + a₁₄ = 0

a₁ + a₁ + 13·r = 0

2·a₁ = -13·6

a₁ = -39

Portanto, teremos:

• a₁ = -39
• a₂ = -33
• a₃ = -27
• a₄ = -21
• a₅ = -15
• a₆ = -9
• a₇ = -3
• a₈ = 3

Logo, o maior elemento negativo é -3.

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