Question

a expressão (1-tgx/1+tgx)² é equivalente a:

Answer 1

Resposta:

(1 - tg x / 1 + tg x )²  ⇔ ( 1 - sen (2x) ) / ( 1 + sen (2x) )

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

A expressão ( 1 - tg x / 1 + tg x )² é equivalente a ?

Resolução:

1º – Definir domínio da expressão  e condições restritivas

Nota 1 : Uma fração só está definida quando o denominador é diferente de zero.

Assim terá que o denominador da expressão original ser

1 + tgx ≠ 0  ⇔ tg x ≠  - 1

Nota 2 : a tangente de um ângulo é igual à divisão do seno desse ângulo pelo  cosseno do mesmo ângulo

Então tg x = sen x  /  cos x   o que implica que cos x ≠ 0 ( pelo indicado em Nota 1)

Assim o domínio da expressão serão todos os números Reais exceto quando   tg x = - 1  ou quando  cos x = 0.

2º – Resolução da expressão, simplificando-a

(1 - tgx / 1 + tgx)²

Em primeiro lugar vou resolver e simplificar a expressão dentro do parêntesis.

Só depois disso é que elevo ao quadrado.

Em ambos os termos da fração vou fazer com que o termo “ 1 “ , que pode ser visto  como 1 / 1, se transforme numa fração de denominador cos x ;  fica (cos x/ cos x) .

 Já posso somar frações porque têm o mesmo denominador.

[( ( cos x / cos x) - (sen x / cos ) ) / ( ( cos x / cos x) + (sen x / cos ) )] ²  

⇔

[ ( ( cos x – senx ) / cos x ) / ( ( cos x + senx ) / cos x ) ] ²

Cálculos auxiliares:

tenho a divisão de duas frações: ( cos x – senx ) / cos x ) a dividir por ( cos x + senx ) / cos x )

que se transforma na multiplicação da 1ª fração pelo inverso da 2ª fração

( cos x – senx ) / cos x ) * (  cos x / ( cos x + senx )

⇔

Multiplicamos os numeradores e os denominadores

(( cos x – senx ) * cos x ) / (  cos x * ( cos x + senx ) )  

                                 ↑              ↑

                     Estes cossenos cancelam-se

porque são ≠ 0  tal como vimos no inicio,  cos x ≠ 0

Continuando a resolução

[( cos x – senx ) / ( cos x + senx ) ] ²  

Vou elevar o numerador e o denominador ao quadrado

⇔  ( cos x – senx )²  / ( cos x + senx )²

No numerador e no denominador temos um caso notável da multiplicação.

Nota 3 → Em termos gerais ( a + b )² = a² + 2 * a * b + b²

⇔

( cos² x + 2 * cos x * (- sen x) + sen² x ) / (  cos² x + 2 * cos x * sen x + sen² x)

⇔

Usando a propriedade comutativa da adição  e da multiplicação:

( sen² x + cos² x - 2 sen x cos x) / ( sen² x + cos² x + 2 senx cos x )

 

Nota 4 : A Lei fundamental da Trigonometria diz que  

                 sen² x + cos² x = 1

Nota 5 :  sen (2x) = 2 sen x cos x

Concluindo:

( sen² x + cos² x - 2 sen x  cos x ) / ( sen² x + cos² x  + 2 senx cos x )

⇔ ( 1 - sen (2x) ) / ( 1 + sen (2x) )

Sinais : ( * ) multiplicar   ( / ) dividir  ( ⇔ ) equivalente a   ( ≠ ) diferente de

Espero ter ajudado bem.  

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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.