Question

Em uma pirâmide hexagonal regular de altura 2 raiz de 6 cm cada aresta da base mede 4 cm. Calcular a área lateral Al e a área total At dessa pirâmide.

Answer 1

Antes de tudo, vamos encontrar o apótema da pirâmide. Antes disso, temos que encontrar a altura de um dos 6 triângulos equiláteros que formam a base hexagonal, já que ela juntamente com a altura da pirâmide formam os catetos, enquanto o apótema da pirâmide a hipotenusa.

$h_\Delta = \frac{a\sqrt{3}}{2}\\ \\ h_\Delta=\frac{4\sqrt{3}}{2}\\ \\ \boxed{h_\Delta=2\sqrt{3}~cm}$

Agora, aplicando o Teorema de Pitágoras:

$H^2 = h^2+(h_\Delta)^2\\ \\ H^2 = (2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{3})^2\\ \\ H^2=4\cdot6+4\cdot3\\ \\ H^2=24+12\\ \\ H^2=36\\ \\ H=\sqrt{36}\\ \\ \boxed{H=6~cm}$

Pronto, agora, a área lateral é a soma de 6 áreas de um triângulo de base 4 cm e altura 6 cm.

$A_l = 6A_f\\ \\ A_l=6\cdot(\frac{4\cdot6}{2})\\ \\ \boxed{A_l=72~cm^2}$

A área da base é a área de um hexágono ou 6 triângulos equiláteros:

$A_b = \frac{6a^2\sqrt{3}}{4}\\ \\ A_b=\frac{6\cdot4^2\sqrt{3}}{4}\\ \\ \boxed{A_b=24\sqrt{3}~cm^2}$

A área total é a soma dessas 2 áreas encontradas:

$A_t = A_l+A_b\\ \\ A_t = 72+24\sqrt{3}\\ \\ \boxed{A_t=24(3+\sqrt{3})~cm^2}$