Question

Me ajuuuuuudeeee!! Urgenteee!! Intergral.

∫sec^3 3x dx

Answer 1

 Primeiramente vale lembrar que não há apenas uma maneira de se resolver essa integral. Existem maneiras simples e demasiado complexas para tal. 

∫ sec^3(x)dx=∫ sec^2(x)*sec(x)dx = =∫ (1+tg^2(x))*sec(x)dx=∫ [sec(x)*tg^2(x) + sec (x) ]dx 

Separe em duas integrais: 

∫ [sec(x)*tg^2(x) + sec (x) ]dx = ∫ [sec(x)*tg^2(x)]dx + ∫[ sec (x) ]dx 

A solução da segunda integral é ln[|sec(x) + tg(x)|] ( se necessário use frações parciais, não é difícil de mostrar isso).

Vamos então resolver a primeira integral: 

∫ [sec(x)*tg^2(x)]dx = ∫ [sen^2(x)/cos^3(x)] dx 
o resultado dessa integral será 
(1/2)*sin(x)/cos(x)^2-(1/2)*ln (sec (x)+tan(x)). 

Some os 2 resultados, a resposta será então: 

(1/2)*sin(x)/cos(x)^2+(1/2)*ln ( sec(x)+tan (x) ) + constante 


Algumas passagens não foram totalmente explicadas, mas são "triviais". Explore ao máximo e que sabe de regras de integração.

Answer 2

$I=\displaystyle\int \sec^3 3x\,dx\\\\\\\ =\int \sec 3x\cdot \sec^2 3x\,dx$


Método de integração por partes:

$\begin{array}{lcl} u=\sec 3x&~\Rightarrow~&du=3\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x\,dx\\\\ dv=\sec^2 3x\,dx&~\Leftarrow~&v=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{tg\,}3x \end{array}\\\\\\\\ \displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\\\\\\ \int \sec 3x\cdot \sec^2 3x\,dx= \dfrac{1}{3}\,\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x-\int \left(\dfrac{1}{3}\,\mathrm{tg\,}3x \right )\cdot 3\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x\,dx\\\\\\ \int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{3}\,\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x-\int \sec 3x\;\mathrm{tg^2\,}3x\,dx$


Usando a identidade trogonométrica $\mathrm{tg^2\,}3x=\sec^2 3x-1:$

$\displaystyle\int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{3}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x-\int \sec 3x\,(\sec^2 3x-1)\,dx\\\\\\ \int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{3}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x-\int (\sec^3 3x-\sec 3x)\,dx\\\\\\ \int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{3}\,\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x-\int \sec^3 3x\,dx+ \int\sec 3x\,dx\\\\\\ \int \sec^3 3x\,dx+\int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{3}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x+ \int\sec 3x\,dx\\\\\\ 2\int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{3}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x+ \int\sec 3x\,dx\\\\\\ \int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{6}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x+ \dfrac{1}{2}\int\sec 3x\,dx\\\\\\ \int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{6}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x+ \dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{3}\cdot 3\sec 3x\,dx$

$\displaystyle\int \sec^3 3x\,dx=\dfrac{1}{6}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x+ \dfrac{1}{6}\int \sec 3x\cdot 3\,dx\\\\\\ \int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{6}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x+ \dfrac{1}{6}\int \sec u\,du~~~~~~(u=3x)\\\\\\ \int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{6}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x+ \dfrac{1}{6}\,\mathrm{\ell n}\left|\sec u+ \mathrm{tg\,}u\right|+C\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\int \sec^3 3x\,dx= \dfrac{1}{6}\sec 3x\;\mathrm{tg\,}3x+ \dfrac{1}{6}\,\mathrm{\ell n}\left|\sec 3x+ \mathrm{tg\,}3x\right|+C \end{array}}$