Question

Em uma PG. o produto entre dois termos equidistantes é igual ao produto do termos extremos? verdadeiro ou falso​

Answer 1

Usemos como exemplo introdutório uma PG de 4 termos, para facilitar o entendimento dos posteriores casos. Chamemos o primeiro termo de $x$ e a razão de $q$. Desse modo, temos que a PG é $x, xq, xq^2, xq^3$, com o produto dos termos equidistantes do centro sendo $xq \cdot xq^2 = x^2q^3$ e o produto dos termos extremos sendo $x \cdot xq^3 = x^2q^3$. Portanto a propriedade é válida para uma PG de 4 termos.

Demonstremos que é válida para uma PG de $n$ termos. Evidentemente todos os elementos da PG terão um (e somente um) termo $x$ em sua composição. Digamos que o termo central da PG tem uma quantidade $y$ de $q$'s, logo, o produto de termos equidistantes ao centro (a uma distância $z$ do centro) é

$xq^{y-z} \cdot xq^{y+z} = x^2q^{y-z + y + z} = x^2q^{2y}$

Perceba que este produto final ($x^2q^{2y}$) independe de $z$, que era a distância do centro, podendo-se concluir, portanto, que todos os pares de termos equidistantes do centro têm o mesmo produto, e como os extremos de uma PG também são equidistantes do centro, consequentemente estes também tem este valor como seu produto, então a afirmação é verdadeira.

Uma pequena variante do caso de cima é quando o centro tem 2 termos, ou seja, a PG tem uma quantidade par de termos. Digamos que um dos termos desse centro tem uma quantidade $y$ de $q$'s e o outro tem uma quantidade $y+1$ de $q$'s. O produto de termos equidistantes a uma distância $z$ do centro é

$xq^{y-z} \cdot xq^{y+1+z} = x^2q^{y-z+y+1+z} = x^2q^{2y + 1}$

pois a distância é medida em relação ao termo central mais próximo, ou seja, os termos da esquerda estão a uma distância $z$ de $xq^y$ e os termos da direita estão a uma distância $z$ de $xq^{y+1}$.

Como todas as circunstâncias tratadas nesta atividade independem de $z$, então a afirmação é verdadeira.