Question

Em uma PG decrescente de quatro termos a soma de dos dois primeiros termos e 720 e a soma dos dois últimos estudos é 45. Determine os termos dessa PG.

Answer 1

Considere que os quatro termos da Progressão Geométrica são: a, b, c, d.

O termo geral de uma Progressão Geométrica é definido por $an = a1.q^{n-1}$, sendo

a1 = primeiro termo

q = razão

n = quantidade de termos.

Assim, podemos dizer que:

b = a.q

c = a.q²

d = a.q³.

De acordo com os dados do enunciado, temos que:

a + b = 720

a + aq = 720 (*)

e

c + d = 45

aq² + aq³ = 45 (**).

Perceba que em (*) podemos colocar o "a" em evidência.

Ou seja, a(1 + q) = 720. Logo, $1+q=\frac{720}{a}$.

Em (**) podemos colocar aq² em evidência.

Ou seja, aq²(1 + q) = 45.

Assim,

$aq^2.\frac{720}{a} = 45$

16q² = 1

q = 1/4.

Logo,

$a + \frac{a}{4}=720$

4a + a = 2880

5a = 2880

a = 576;

b = 576.(1/4)

b = 144;

c = 576.(1/4)²

c = 36;

d = 576.(1/4)³

d = 9.

Portanto, a Progressão Geométrica é: 576, 144, 36, 9.