Question

Em uma pg de três termos o produto dos termos é -1000 a soma deles é 15 qual é a pg ?

Answer 1

Após efetuar os cálculos,podemos afirmar que a PG encontrada será (20,-10,5) ou (5,-10,20)

Notação especial para

PG de três termos

Quando a PG possui três termos, existe uma forma especial de representá-la dada por

$\sf\bigg(\dfrac{x}{q},x,x\cdot q\bigg)$.

essa forma é útil pois ao fazer o produto dos 3 termos teremos uma única variável.

Vamos a resolução da questão

Aqui devemos encontrar uma PG de 3 termos cujo o produto é -1000 e a soma 15. Usando a notação especial da PG de três termos teremos o seguinte:

$\sf\dfrac{x}{q}\cdot x\cdot x\cdot q=-1000$

simplificando as variáveis q

$\sf\dfrac{x}{\backslash\!\!\!q}\cdot x\cdot x\cdot \backslash\!\!\!q=-1000\\\\\sf x^3=-1000\\\sf x=\sqrt[\sf3]{\sf-1000}\\\sf x=-10$

substituindo x por -10 na informação da soma obtemos

$\sf\dfrac{-10}{q}+(-10)+(-10)\cdot q=15\\\\\sf\dfrac{-10-10q-10q^2}{q}=15\\\\\sf-10q^2-10q-10=15q\\\sf-10q^2-10q-15q-10=0\\\sf -10q^2-25q-10=0\div(-5)\\\sf 2q^2+5q+2=0$

Usando a fórmula resolutiva para equação de 2º grau ,vamos resolver a equação de 2º grau na variável q:

$\sf2q^2+5q+2=0\implies \begin{cases}\tt a=2\\\tt b=5\\\tt c=2\end{cases}\\\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=5^2-4\cdot2\cdot2\\\sf\Delta=25-16\\\sf\Delta=9\\\sf q=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf q=\dfrac{-5\pm\sqrt{9}}{2\cdot2}\\\\\sf q=\dfrac{-5\pm3}{4}\begin{cases}\sf q_1=\dfrac{-5+3}{4}=-\dfrac{2\div2}{4\div2}=-\dfrac{1}{2}\\\\\sf q_2=\dfrac{-5-3}{4}=-\dfrac{8}{4}=-2\end{cases}$

existem duas possibilidades para nossa PG:

quando x=-10 e q=–½ :

$\sf\bigg(\dfrac{-10}{-\dfrac{1}{2}},-10,(-10)\cdot\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)$

$=\bigg(20,-10,5\bigg)$

quando x=-10 e q=-2:

$\bigg(\dfrac{-10}{-2},-10,(-10)\cdot(-2)\bigg)=(5,-10,20)$

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