Question

Em uma PG a soma dos dois primeiros termos é 1, e a do terceiro com o quarto, 9. determine a PG. ​

Answer 1

Seja $A_{n}$ o n'ésimo termo da sequência.

Do enunciado,

$A_{1}+A_{2}=A_{1}+A_{1}*q=A_{1}(1 + q) =1 (*)$

$A_{3}+A_{4}=A_{1}*q^{2}+A_{1} *q^{3}=A_{1}*q^{2}(1 + q)=9(**)$

Dividindo (**) por (*) obtêm-se:

$\frac{A_{1}*q^{2}(1+q) }{A_{1}(1+q)}=q^{2}=\frac{9}{1}=9$

Daí, como $q^{2} = 9$ temos que q = ± 3

Veja então que como a razão pode possuir 2 valores distintos podemos determinar também duas PG's distintas. Assim sendo, vamos dividir a PG em 2 casos, uma em que q = 3 e outra em que q = -3.

1º Caso (q = 3) :

Para q = 3 temos pela primeira equação que $A_{1}(1+3) = 4A_{1}=1$ implicando em $A_{1}=\frac{1}{4}$.

2º Caso (q = -3):

Para q = -3 temos pela primeira equação que $A_{1}(1+(-3))= A_{1}*-2 = -2A_{1}= 1$ implicando em $A_{1}=- \frac{1}{2}$

Sendo assim, para q = 3, A1 = $\frac{1}{4}$ e para q = -3, $A_{1}=-\frac{1}{2}$.

É isso, bons estudos!