Question

Em uma pesquisa com 200 frequentadores de cinema em Aracaju 48, pessoas disseram já ter assistido ao filme X, 138,ao filme Y,63, ao filme Z.

Sabendo-se que 26 pessoas responderam que não haviam assistido a qualquer desses filmes, 12 assistiram a todos, podemos concluir, que dos entrevistados.

A) são 77 os que assistiram, no máximo a um desses filmes.
B) 87 assistiram, apenas, a dois desses filmes.
C) 111 assistiram, apenas,a um desses filmes.
D) 123 assistiram, pelo menos, a dois desses filmes.
E) 162 assistiram, exatamente, a dois desses filmes.

Answer 1

Olá.

 

Temos uma questão de conjuntos, onde devemos aplicar (nem que seja intuitivamente) conceitos de união e interseção de conjuntos.

 

Foram-nos dadas as seguintes informações:

 

  - A pesquisa foi feita com 200 pessoas.

  - 048 assistiram filme x;

  - 138 assistiram filme y;

  - 063 assistiram filme z;

  - 026 não assistiram os filmes da pesquisa;

  - 012 assistiram todos os filmes;

 

A quantidade de pessoas que assistiram apenas um dos filmes pode ser delimitada como sendo a diferença entre todos os que assistiram o tal filme com os que assistiram todos mais as combinações desse filme com os demais.

 

Podemos nomear as interseções entre conjuntos com incógnitas, que usarei aqui “a”, “b” e “c”. (Em anexo foi adicionado um diagrama de Venn para representar adequadamente o que falo)

 

     a: refere-se a interseção dos que assistiram x e y;

     b: refere-se a interseção dos que assistiram x e z;

     c: refere-se a interseção dos que assistiram y e z;

     12: refere-se a quantidade de pessoas que assistiram x, y e z;

 

Algebricamente, podemos definir os que assistiram apenas um dos filmes da seguinte maneira:

 

$\begin{cases} \mathsf{x:}&\mathsf{48-(a+b+12)}\\\\ \mathsf{y:}&\mathsf{138-(a+c+12)}\\\\ \mathsf{z:}&\mathsf{63-(b+c+12)} \end{cases}$

 

A soma dos que assistiram apenas um dos filmes pode ser representada algebricamente por S, da seguinte maneira:

 

$\mathsf{S=x+y+z}\\\\ \mathsf{S=\left[48-\left(a+b+12\right)\right]+\left[138-\left(a+c+12\right)\right]+\left[63-\left(b+c+12\right)\right]}\\\\ \mathsf{S=\left[48-a-b-12\right]+\left[138-a-c-12\right]+\left[63-b-c-12\right]}\\\\ \mathsf{S=48-a-b-12+138-a-c-12+63-b-c-12}\\\\ \mathsf{S=-a-a-b-b-c-c+63+138+48-12-12-12}\\\\ \mathsf{S=-2a-2b-2c+249-36=162}\\\\ \mathsf{S=-2a-2b-2c+213}$

 

O total de pessoas, 200, pode ser representado como a soma de todos os que assistiram apenas um dos filmes + os que assistiram dois dos filmes + os que assistiram os três filmes + os que não assistiram nada. Algebricamente, teremos:

 

$\mathsf{(x+y+z)+(a+b+c)+12+26=200}\\\\ \mathsf{S+(a+b+c)+38=200}\\\\ \mathsf{-2a-2b-2c+213+a+b+c+38=200}\\\\ \mathsf{-2a+a-2b+b-2c+c+213+38=200}\\\\ \mathsf{-a-b-c+251=200}\\\\ \mathsf{-a-b-c=200-251}\\\\ \mathsf{-a-b-c=-51\cdot(-1)}\\\\ \boxed{\mathsf{a+b+c=51}}}$

 

Temos que 51 assistiram 2 filmes, logo, podemos invalidar as alternativas A, B, C e E. Todavia, é possível chegar no resultado exato substituindo o valor de (a + b + c) em S. Teremos:

 

$\mathsf{S=-2a-2b-2c+213}\\\\ \mathsf{S=-2(a+b+c)+213}\\\\ \mathsf{S=-2(51)+213}\\\\ \mathsf{S=-102+213}\\\\ \boxed{\mathsf{S=111}}$

 

Com isso, podemos concluir que a resposta correta está na alternativa C.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$