Question

Em uma parede externa de uma casa deseja-se construir uma cobertura para os carros. A parede encontra-se inserida no plano x+y=0 e a viga para prender a cobertura estará na direção da reta (4,2,3)+ λ (-1,1,0). A cobertura terá 5 metros de comprimento, e a largura é a distância entre a parede e a viga. Se todas as medidas estão em metros, qual a área dessa cobertura? Use √ 2 = 1 , 41 .

Answer 1

A área da cobertura é de 21,15 m².

Como encontrar a distância entre um plano e uma reta?

Para calcular a distância entre um plano π e uma reta r, basta pegar um ponto P = (x₀,y₀,z₀) qualquer dessa reta e calcular a distância desse ponto ao plano. Ou seja, basta utilizar a fórmula:

$\boxed{d(P,\pi) = \dfrac{|ax_o+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

Qual é a resposta?

Temos que:

• Reta r: (4,2,3)+ λ.(-1,1,0)
• Plano π: x + y = 0

Pela fórmula da distância entre um ponto e um plano, precisamos encontrar o módulo da equação do plano aplicada ao ponto p = (x₀,y₀,z₀), onde p é o ponto genérico da reta r.

p = (4,2,3) em |x + y|

|x+y| = |4+2| = 6

Após isso, faremos a raiz quadrada da soma dos quadrados de a, b e c onde, na equação do plano, 'a' é o valor que multiplica o x, 'b' o y e 'c' o z.

√a² + b² + c² =

√1² + 1² + 0² =

√2

Tendo esses dois valores em mãos, basta dividi-los.

d = 6/√2 = 3√2 metros = 3 . 1,41 = 4,23 metros

Finalmente, a cobertura retangular terá uma área com valor aproximado de: A = 5 x 4,23 = 21,15 m²

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