Question

Em uma PA de razão 5,cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qua é o 25° elemento

Answer 1

$> \: resolucao \\ \\ \geqslant \: progressao \: \: aritmetica \\ \\ an = a1 + (n - 1)r \\ an = a1 + (50 - 1)5 \\ an = a1 + 49 \times 5 \\ an = a1 + 245 \\ \\ \\ sn = \frac{(a1 + an)n}{2} \\ \\ 6625 = \frac{(a1 + a1 + 245)50}{2} \\ \\ 6625 = \frac{(2a1 + 245)50}{2} \\ \\ 13250 = 100a1 + 12250 \\ \\ 100a1 = 13250 - 12250 \\ \\ 100a1 = 1000 \\ \\ a1 = \frac{1000}{100} \\ \\ a1 = 10 \\ \\ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \\ \\ > \: o \: 25 \: termo \: da \: pa \\ \\ an = a1 + (n - 1)r \\ an = 10 + (25 - 1)5 \\ an = 10 + 24 \times 5 \\ an = 10 + 120 \\ an = 130 \\ \\ \\ \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant$

Answer 2

Após os cálculo realizado verificamos que o vigésimo quinto termo da PA é 130.

Progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo ) e o termo anterior é constante que chamado de razão ( r ).

Exemplo:

A sequência ( 2, 7,12,17,...) é uma progressão aritmética infinta de razão 5;

Termo Geral de uma Progressão Aritmética:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1 + ( n-1) \cdot r } }$

Sendo que:

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf a_n \to }$ termo geral;

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 \to }$ primeiro termo;

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf n \to }$ número de termos até $\textstyle \sf \sf a_n$;

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf r \to }$ razão da PA.

Soma dos termos de uma progressão aritmética finita:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf r = 5\\ \sf n = 50 \\ \sf S_{50} = 6625 \\ \sf a_{25} = \:? \end{cases} } }$

Aplicando o Termo Geral de uma Progressão Aritmética, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1+ (n-1) \cdot r }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1+ (50-1) \cdot 5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1+49 \cdot 5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1+ 245 }$

Aplicando soma dos termos da progressão aritmética para determinar o primeiro termo.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{6\:625 = \dfrac{(a_1 + a_1 +245) \cdot 50}{2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (2a_1 +245) \cdot 50 = 6\:625 \cdot 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 100a_1 +12\:250= 13\;250 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{100a_1 = 13\:250 -12\:250 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 100a_1 = 1\;000 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_1 = \dfrac{1\;000}{100} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a _1 = 10 }$

Para determinar o vigésimo quinto termo da PA, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_{25} = a_1 +24 \cdot r } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_{25} = 10+24 \cdot 5 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_{25} = 10+ 120 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_{25} = 130 }$

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