Em uma PA com os termos (0,5;1,0;1,5...) determine o 1002 termo dessa PA
Soluções para a tarefa
Resposta:
a1 = 0,5
a1002=?
r = a2 - a1
r = 1 - 0,5
r = 0,5 ouuu 1/2
A1002=a1+1001.r
A1002=0,5+1001.0,5
A1002=0,5+500,5
A1002=501
Só pra comprovar, vou usar o termo geral bonitinho
A1002 = a1+(n-1).r
A1002 = 0,5 + (1002-1).0,5
A1002 = 0,5+1001.0,5
A1002 = 501
Certíssimo
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (0,5; 1,0; 1,5; ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 0,5.
b)milésimo segundo termo (a₁₀₀₂): ?
c)número de termos (n): 1002 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 1002ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do milésimo segundo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 1 - 0,5 ⇒ (O decimal 0,5 corresponde à fração 1/2.)
r = 1 - 1/2 ⇒
r = (2-1)/2 ⇒
r = 1/2
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o quingentésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀₀₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₀₀₂ = (1/2) + (1002 - 1) . (1/2) ⇒
a₁₀₀₂ = (1/2) + (1001) . (1/2) ⇒
a₁₀₀₂ = (1/2) + (1001/2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₁₀₀₂ = 1002/2 ⇒
a₁₀₀₂ = 501
Observação 2: Quando duas frações apresentam o mesmo denominador, basta somar normalmente os numeradores (1 e 1001), conservando o denominador (neste exercício, o 2).
Resposta: O 1002º termo da P.A(0,5; 1,0; 1,5; ...) é 501.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₁₀₀₂ = 501 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o milésimo segundo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀₀₂ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
501 = a₁ + (1002 - 1) . (1/2) ⇒
501 = a₁ + (1001) . (1/2) ⇒
501 = a₁ + (1001/2) ⇒
501 - (1001/2) = a₁ ⇒ (O m.m.c entre 1 e 2 é 2.)
(1002-1001)/2 = a₁ ⇔
1/2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 1/2 (Provado que a₁₀₀₂ = 0,5 (ou 1/2).)
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!
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