Question

Em uma PA , a soma do 7° termo com o 13° termo é igual a 78, e a soma do 4° termo com o 10° termo é igual a 54. Calcule o 1° termo e a razão dessa PA

Answer 1

resolução!

a7 + a13 = 78

a1 + 6r + a1 + 12r = 78

2a1 + 18r = 78 equação 1

a4 + a10 = 54

a1 + 3r + a1 + 9r = 54

2a1 + 12r = 54 equação 2

2a1 + 18r = 78

- 2a1 - 12r = - 54

6r = 24

r = 24/6

r = 4

2a1 + 12r = 54

2a1 + 12 * 4 = 54

2a1 + 48 = 54

2a1 = 54 - 48

a1 = 6/2

a1 = 3

Answer 2

Utilizando os dados do enunciado, podemos montar um sistema de 2 equações:

--> "a soma do 7° termo com o 13° termo é igual a 78":

$a_7~+~a_{13}~=~78$

--> "a soma do 4° termo com o 10° termo é igual a 54":

$a_4~+~a_{10}~=~54$

Note, no entanto, que temos 4 incógnitas e apenas 2 equações, ou seja, precisamos diminuir o numero de incógnitas.

Para isso, vamos utilizar a equação do termo geral da PA para reescrever os termos a₄, a₇, a₁₃ e a₁₀ em termos de a₁ e da razão da PA.

$\boxed{a_n~=~a_m~+~(n-m)\,.\,r}\\\\\\\\a_4~=~a_1+(4-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~~\boxed{a_4~=~a_1+3r}\\\\\\a_7~=~a_1+(7-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~~\boxed{a_7~=~a_1+6r}\\\\\\a_{10}~=~a_1+(10-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~~\boxed{a_{10}~=~a_1+9r}\\\\\\a_{13}~=~a_1+(13-1)\,.\,r~~~\rightarrow~~~\boxed{a_{13}~=~a_1+12r}$

Substituindo estes termos nas equações anteriormente achadas, temos:

$a_7~+~a_{13}~=~78\\\\\\(a_1+6r)+(a_1+12r)~=~78\\\\\\2a_1+18r~=~78\\\\\\\boxed{a_1+9r~=~39}\\\\\\\\a_4~+~a_{10}~=~54\\\\\\(a_1+3r)+(a_1+9r)~=~54\\\\\\2a_1+12r~=~54\\\\\\\boxed{a_1+6r~=~27}$

Note que agora temos 2 equações e 2 incógnitas (a₁ e r). Podemos resolver este sistema por qualquer método conhecido, vou utilizar a substituição.

$Isolando~"r"~na~1^a~equacao:\\\\\\a_1+9r~=~39\\\\\\9r~=~39-a_1\\\\\\\boxed{r~=~\frac{39-a_1}{9}}\\\\\\Substituindo~na~2^a~equacao:\\\\\\a_1+6r~=~27\\\\\\a_1+6\,.\,\frac{39-a_1}{9}~=~27$

$\frac{9\,.\,a_1~-~6\,.\,a_1~+~6\,.\,39}{9}~=~27\\\\\\9a_1-6a_1+234~=~9\,.\,27\\\\\\3a_1~=~243-234\\\\\\a_1~=~\frac{9}{3}\\\\\\\boxed{a_1~=~3}$

$Substituindo~o~valor~de~a_1~em~uma~das~equacoes~(qualquer~uma):\\\\\\r~=~\frac{39-a_1}{9}\\\\\\r~=~\frac{39-3}{9}\\\\\\r~=~\frac{36}{9}\\\\\\\boxed{r~=~4}$