Question

em uma P.G. onde a razão é dois e o a índice 1 é igual a 1 o enésimo termo é 30 quanto da soma dos seus termos ?

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a soma dos termos de uma PG da  qual conhecemos as seguintes informações:

q = 2 ---- (razão igual a 2)
a1 = 1 ---- (primeiro termo igual a 1)
an = 30 ---- (último termo igual a 30).

Antes de iniciar, veja: se o "a1" = 1 e q = 2, então o último termo (an) NUNCA poderá ser igual a "30". Poderá ser "32", pois sendo a razão igual a 2 (q = 2) e o primeiro termo igual a "1" (a1 = 1), então a PG seria esta:

a1 = 1
a2 = 1*2 = 2
a3 = 2*2 = 4
a4 = 4*2 = 8
a5 = 8*2 = 16
a6 = 16*2 = 32 <--- Veja: o último termo "an" jamais poderia ser igual a 30, mas poderá ser igual a 32.

Então vamos considerar que que o enésimo termo seja igual a 32 (e não "30" como você colocou) e vamos encontrar o número de termos (já sabemos que o número de termos será "6", mas vamos supor que não soubéssemos e vamos calcular)

Dessa forma, considerando que o último termo seja "32",  vamos ver quantos termos terá essa PG. Para isso, aplicaremos a fórmula do termo geral, que é dada por:

an = a1*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima "an" é o último termo. Como já sabemos que an = 32, então o substituiremos por "32". Por sua vez substituiremos "a1" por "1", que é o primeiro termo da PG. E finalmente, substituiremos "q" por "2", que é a razão da PG.
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

32 = 1*2ⁿ⁻¹ --- ou apenas:
32 = 2ⁿ⁻¹ ------ note que 32 = 2⁵ . Assim, teremos:
2⁵ = 2ⁿ⁻¹ ---- como as bases são iguais, igualaremos os expoentes. Logo:

5 = n - 1 ---- passando "-1" para o 1º membro, temos;
5+1 = n
6 = n --- ou, invertendo-se;

n = 6 <--- Este é o número de termos da nossa PG.


Bem, como já sabemos qual é o número de termos da PG (n = 6) e já temos que o primeiro termo é igual a "1" (a1 = 1) e a razão é igual a "2" (q = 2), vamos encontrar a soma dos seus termos.
Note que a soma dos termos de uma PG finita é dada por:

Sn = a1*[qⁿ - 1]/(q-1) ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

S6 = 1*[2⁶ - 1]/(2-1) --- ou apenas:
S6 = [2⁶ - 1] ----- como 2⁶ = 64, teremos:
S6 = 64 - 1
S6 = 63 <---- Esta é a resposta. Esta será a soma pedida, se o termo de ordem "n" for "32" como consideramos.


Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.