em uma p.g. crescente , 0 3° termo vale - 80, e o 7° termo, -5. Qual o seu 1° termo?
Soluções para a tarefa
a1.q² / a1.q^6 = 16
1/q⁴ = 16
q⁴ = 1/16
q⁴ = (1/2)⁴ ==> q=1/2
a3 = -80
a1. q² = -80
a1. 1/4 = -80
a1 = -320 ✓
Vamos lá.
Veja, Tory, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que, numa PG CRESCENTE, o 3º termo (a₃) é igual a "-80" e o 7º termo (a₇) é igual a "-5". Pede-se o valor do primeiro termo (a₁).
ii) Agora veja como é simples. Note que o 3º termo de uma PG é dado por:
a₃ = a₁*q² ---- como o 3º termo é igual a "-80", então teremos que:
a₁*q² = - 80 . (I).
Por sua vez, com o 7º termo de uma PG é dado por:
a₇ = a₁*q⁶ -------- como o 7º termo é igual a "-5", então teremos que:
a₁*q⁶ = - 5 . (II).
iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) acima, ou seja, ficamos com isto:
{a₁*q² = -80 . (I).
{a₁*q⁶ = -5 . (II).
Agora faremos o seguinte: vamos dividir, membro a membro, a expressão (II) pela expressão (I). Então, fazendo isso, teremos:
a₁*q⁶ / a₁*q² = -5/-80 ----- ou apenas, o que dá no mesmo (lembre-se que: na divisão, menos com menos dá mais):
a₁*q⁶ / a₁*q² = 5/80 ------- note que, no 1º membro, simplificaremos "a₁" do numerador com "a₁" do denominador; e, no 2º membro, simplificaremos numerador e denominador por "5", com o que ficaremos assim:
q⁶ / q² = 1/16 ----- veja que, no 1º membro, temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo, ficaremos assim:
q⁶⁻² = 1/16
q⁴ = 1/16 ----- isolando "q", teremos:
q = ⁴√(1/16) ------ note que "raiz quarta de 1/16 é igual a 1/2". Logo, ficaremos com:
q = 1/2 <--- Este é o valor da razão (q) da PG da sua questão.
iv) Agora que já temos o valor da razão (q), então vai ficar bem fácil de encontrar o valor do 1º termo (a₁). Para isso, basta irmos em quaisquer uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas substituirmos o valor de "q" por "1/2". Vamos na expressão (I), que é esta:
a₁*q² = - 80 ------ substituindo-se "q" por "1/2", teremos:
a₁*(1/2)² = - 80 ------ como "(1/2)² = 1/4", teremos:
a₁*(1/4) = - 80 -------- isolando "a₁", teremos:
a₁ = -80/(1/4) ---- veja que temos, no 2º membro, uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então:
a₁ = -80*(4/1) ---- ou apenas:
a₁ = -80*4/1 ----- como "-80*4 = -320", teremos:
a₁ = -320/1 ----- ou apenas:
a₁ = - 320 <---- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor pedido do primeiro termo da PG crescente da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.