Matemática, perguntado por juliavitoriaf394, 11 meses atrás

em uma P.A o 6° termo é 120. considerando que sua razão é 8, qual é o primeiro termo?

Soluções para a tarefa

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Do enunciado, tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição da sequência ?

b)sexto termo (a₆): 120

c)número de termos (n): 6 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 6ª), equivalente ao número de termos.)

d)razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos e obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato: 8

e)Embora não se saiba o valor do primeiro termo, pode-se afirmar, pela simples observação do sexto termo e da razão que o primeiro termo será positivo, pois se se pensar nos demais cinco termos e que entre eles há oito unidades (a razão) de diferença, serão quarenta unidades a menos, insuficientes para se chegar ao campo dos números negativos.

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(II)Aplicação das informações fornecidas pelo problema na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o primeiro termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₆ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

120 = a₁ + (6 - 1) . (8) ⇒

120 = a₁ + (5) . (8) ⇒ (Veja a Observação 1 abaixo.)

120 = a₁ + 40 ⇒

120 - 40 = a₁ ⇒

80 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 80

Observação 1: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +/+ ou -/-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O primeiro termo da P.A. é 80.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁ = 80 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, a razão (r), verifica-se que o valor correspondente a ela será obtido nos cálculos, confirmando-se que o primeiro termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₆ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

120 = 80 + (6 - 1) . (r) ⇒

120 = 80 + (5) . (r) ⇒

120 - 80 = 5.r ⇒

40 = 5.r ⇒

40/5 = r ⇒ (Veja a Observação 2.)

8 = r ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

r = 8 (Provado que a₁ = 80.)

Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da divisão: dois sinais iguais, +/+ ou -/-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

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