Question

Em uma P.A crescente cujo primeiro termo vale 2, o 2°, o 5° e o 14° termos formam nessa ordem uma P.G. Qual a razão dessa P.G. ?

Answer 1

Inicialmente temos uma PA de a1 = 2
 Sabemos que an = a1 + (n - 1).r
Então:
a2 = 2 + (2 - 1).r 
a2 = 2 + r

a5 = 2 + (5 - 1).r
a5 = 2 +4r

a14 = 2 + (14 - 1).r
a14 = 2 + 13r

Pelo enunciado, (2 + r, 2 + 4r, 2 + 13r) é uma PG

Em toda PG, o termo do meio é média geométrica dos extremos. Então:

(2 + 4r)² = (2 + r).(2 + 13r) ⇒ 4 + 16r + 16r² = 4 + 26r + 2r + 13r² ⇒

⇒4 + 16r + 16r² - 4 - 26r - 2r - 13r² = 0

3r² - 12r = 0 ⇒ 3r(r - 4) = 0

3r = 0 ⇒ r = 0/3 = 0 (não serve pois a PA é crescente)
ou
r - 4 = 0 ⇒ r = 4  (esta é a razão da PA)

Se você quiser resolver a equação acima através da fórmula, é só não esquecer que c = 0.

Substituindo r por 4, obtemos:

a2 = 2 + 4 = 6

a5 = 2 + 4.4 = 2 + 16 = 18

a14 = 2 + 13.4 = 2 + 52 = 54

Então a PG é (6, 18, 54)

A razão da PG é:

q = 18/6 = 3 

Você também pode fazer q = 54/18 = 3

Portanto, a razão da PG é 3.