Em uma jazida de minério, os técnicos com aparelhos fazem estimativas da quantidade de estanho restante que pode ser extraída após a descoberta da jazida. Tais quantidades foram computadas, e duas dessas estimativas estão na tabela a seguir:
Tempo após a descoberta da jazida ( anos ) = 1
Quantidade estimada de estanho na jazida ( Toneladas ) = 917.504
Tempo após a descoberta da jazida ( anos ) = 3
Quantidade estimada de estanho na jazida ( Toneladas ) = 702.464
Sabe-se ainda que, com a extração mineral, a quantidade estimada de estanho restante vem diminuindo de forma exponencial.
a)Obtenha a quantidade de estanho restante y como função dos anos x após a descoberta da jazida, isto é, y = f(x).
b)Qual a diminuição percentual anual do estanho ?
c)Qual era a quantidade de estanho presente na jazida quando ela foi descoberta?
d)Após quanto tempo a jazida terá a metade da quantidade inicial de estanho ?
Soluções para a tarefa
O decaimento exponencial é muito utilizado em matemática, e pode ser aplicado em diversos ramos de estudos.
A equação geral para este fenômeno é dada por:
y(x) = y0e^(-βx),
onde "e" é o número de Euler e tem valor constante e = 2.718, β e y0 são constantes intrínsecas do problema em pauta, de modo que devemos determiná-las.
Utilizando as informações dadas, podemos escrever um sistema de equações para nosso problema:
917 504 = y0e^(-β) - Primeira equação, x = 1 ano,
702 464 = y0e^(-3β) - Segunda equação, x = 2 anos.
Dividindo a primeira pela segunda, encontramos:
1.306 = e^(2β),
aplicando o ln em ambos os lados,
β = 0.1335.
Com este valor, podemos substituí-lo na primeira equação, encontrando, dessa forma, o valor y0:
y0 = 917 504/e^(-0.1335),
y0 = 1 048 543.1
Logo, nossa equação que descreve toda a exploração da jazida é:
y(x) = (1 048 543.1)e^(-0.1335x); que é a resposta da questão a).
b) Para encontrar a diminuição percentual anual, basta encontrarmos a razão das quantidades entre o primeiro ano e o início que a jazida possui, ou seja, y(1)/y(0), subtrair de 1, e multiplicado por 100%:
[1 - (917 504 ÷ 1 048 543.1)] x 100% ≅ 12.5%
A diminuição percentual anual de estranho é de 12.5%.
c) A quantidade de estranho inicial era y(0) = 1 048 543.1 , calculado anteriormente.
d) A metade da quantidade inicial de estanho é 524 271.6 toneladas, basta que encontremos o valor de x' em que y(x') = 524 271.6, logo:
524 271.6 = 1 048 543.1 e^(-0.1335x'),
0.5 = e^(-0.1335x'),
Aplicando o ln em ambos os lados,
-0.693 = -0.1335x',
que nos leva ao resultado:
x' = 5.2 anos
Após 5.2 anos, a jazida terá metade da quantidade inicial de estanho.